高中函数单调性-最值-绝对值

1绝对值函数与分段函数一．与绝对值函数有关的基本知识1．V型函数||xy2．与绝对值有关的函数变换|)(|)(xfyxfy除左右对称到左|)(|)(xfyxfy上不变下翻上二．分段函数（绝对值函数除绝对值）0,0,||xxxxxy分段函数分段处理三．典例分析例1．“2a”是“函数()fxxa在区间[2,)上为增函数”的条件（填充分，必要，充要）.分析：||||axyxy左右平移22[||a），axy上为增则在故填充分非必要例2已知函数()22xfx，则函数()yfx的图象可能是（）分析：|22|222xxxyyy绝对值变换平移故选B11O1xyA11O1xyB11O1xyC11O1xyD2例3．已知函数12||4)(xxf的定义域是ba,（,ab为整数），值域是1,0，则满足条件的整数数对),(ba共有_________个..分析：12||4124244xyxyxyxy绝对值变换平移平移满足要求由题意和图像知经绝对值变换后知道求得令求得令)2,0(),2,12212)0,2(02),0,20)100124），（，），（，，（：），C（B（y，，A（xxy例4．已知2)(axxxf（1）若a0,求)(xf的单调区间;（2）若当1,0x时，恒有0)(xf，求实数a的取值范围.分析：绝对值函数转分段函数axaxxaxaxxxf,2,2)(22ABBAC),(),,(),,(202,22)2()2()12222aa：，，，ax，xa。，，yaxxaxxaa减区间为增由图知单调区间为故可画出函数图像两支函数值都为时当轴正半轴对称轴在时当且两抛物线对称轴相同对称故两段上图像关于A3102102,0)1(,0)0(]1,0[0)(,2:,2)2422aa：ff，xxf，，axxya既得只需要第一支函数中上恒成立在因此要使况下都小于零故第二支函数在任意情恒小于零顶点最大值为练习：1已知cos0()(1)10xxfxfxx，则)34()34(ff的值等于A．2B．1C．22若函数1(),10()44,01xxxfxx，则4(log3)f（）A．13B．43C．3D．43函数21,(0)()(1),(0)xxfxfxx，若方程axxf)(恰有两个不等的实根，则a的取值范围为A．0,B．1,0C．)1,(D．,04设函数2,0()2,0xbxcxfxx，若(4)(0),(2)2fff，则关于x的方程()fxx的解的个数为A.4B.2C1D.35.已知函数)0(4)3(),0()(xaxaxaxfx满足对任意0)()(,212121xxxfxfxx都有成立，则a的取值范围是6知函数()21,xfxabc，且()()()fafcfb，则下列结论中，必成立的是A．0,0,0abcB．0,0,0abcC．22acD．222ac学科网7设函数()yfx在(,)内有定义，对于给定的正数K，定义函数(),(),(),().KfxfxKfxKfxK4取函数()2xfx。当K=12时，函数()Kfx的单调递增区间为【A．(,0)B．(0,)C．(,1)D．(1,)8若函数|1|1()2xym的图象存在有零点，则m的取值范围是__________9．函数(1)||xxayax的图象的大致形状是（）10.数sinsinyxx的值域是_________18位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时，分别给出下面三个结论：①函数f(x)的值域为(－1,1)②若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)③若规定f1(x)=f(x)，fn+1(x)=f[fn(x)]，则fn(x)=x1+n|x|对任意n∈N*恒成立.你认为上述三个结论中正确的个数有11数①()|2|fxx，②2()(2)fxx，③()cos(2)fxx，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)fx是偶函数；命题乙：()fx在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）A．①②B．①③C．②D．③12定义在R上的偶函数fx的部分图像如右图所示，则在2,0上，下列函数中与fx的单调性不同的是A．21yxB.||1yx5C.321,01,0xxyxxD．,,0xxexoyex函数专题：单调性与最值一、增函数1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？○2能否看出函数的最大、最小值？○3函数图象是否具有某种对称性？2、从上面的观察分析，能得出什么结论？不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。3.增函数的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)．二、函数的单调性如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-16【判断函数单调性的常用方法】1、根据函数图象说明函数的单调性．例1、如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【针对性练习】下图是借助计算机作出函数y=－x2+2|x|+3的图象，请指出它的的单调区间．2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．例2、证明函数xxy1在（1，+∞）上为减函数．例3、函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．7例4、已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．例5、判断一次函数ykxb(0)k单调性.例6、利用函数单调性的定义，证明函数在区间（0，1]上是减函数．【归纳小结】函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助8计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论〖针对性练习〗1.函数1yx的单调区间是（）A．（-，+）B.（-，0）（1，，）C.（-，1）、（1，）D.（-，1）（1，）2.下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是().A．32yxB．3yxC．245yxxD．23810yxx3．函数223yxx的增区间是（）。A．[-3，-1]B．[-1,1]C．113a(,3)D．(1,)4、已知函数1()fxxx，判断()fx在区间〔0，1〕和（1，+）上的单调性。5、定义在（－1，1）上的函数()fx是减函数，且满足：(1)()fafa，求实数a的取值范围。6、函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．9☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆1、定义：设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数单调性()ugx增增减减()yfu增减增减()yfgx增减减增例1、已知()1,()32yfuuugxx，求()yfgx的单调性。例2、已知2()1,()1yfuuugxx，求函数()yfgx的单调性。〖针对性训练〗1、已知2()1,()1yfuuugxx，求函数()yfgx的单调性。102、已知2()82fxxx，如果2()(2)gxfx，那么()gx（）A.在区间（-1，0）上是减函数B.在区间（0，1）上是减函数C.在区间（-2，0）上是增函数D.在区间（0，2）上是增函数三、函数的最大（小）值1．函数最大（小）值定义1）最大值：一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM．那么，称M是函数()yfx的最大值．2）最小值：一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM．那么，称M是函数()yfx的最小值．注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0xI，使得0()fxM；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有()(())fxMfxm．2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．①配方法②换元法③数形结合法例1、求函数223yxxx当自变量在下列范围内取值时的最值．11①10x②03x③(,)x例2、求函数1yxx的最大值．例3、求函数21yx在区间[2，6]上的最大值和最小值．【针对性练习】一、选择题1．函数y＝4x－x2，x∈[0，3]的最大值、最小值分别为()(A)4，0(B)2，0(C)3，0(D)4，32．函数21xxy的最小值为()(A)21(B)1(C)2(D)4123、函数3(2)2yxx在区间〔0，5〕上的最大值、最小值分别是（）A.3,07B.3,02C.33,27D.最大值37，无最小值。二、填空题1．函数y＝2x2－4x－1x∈(－2，3)的值域为______．2．函数22xxy的值域为______．3、函数245(0,3yxxx的值域是。4、函数23134yxx的值域是。三、解答题1．求函数0,0,2)(xxxxfx的值域．2．设函数f(x)＝(x＋a)2对于任意实数t∈R都有f(1－t)＝f(1＋t)．(1)求a的值；(2)如果x∈[0，5]，那么x为何值时函数y＝f(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最大值．3．如图，在边长是a的等边三角形内作一个内接矩形，求内接矩形的面积的最大值．134．已知函数y＝－3x2＋2ax－1，x∈[0，1]，记f(a)为其最小值，求f(a)的表达式，并求f(a)的最大值．