中值定理

第四章中值定理与导数的应用1.中值定理2.洛必达法则3.函数的单调性与极值4.函数的最值及应用5.函数曲线的凹凸性及拐点6.函数的微分法作图第一节中值定理费马(Ferma)引理一．罗尔(Rolle)定理二．拉格朗日(Lagrange)中值定理三．柯西(Cauchy)中值定理费马引理00()()fxxUx设函数在点的一个邻域内有定义,并在0x点处可导,如果000()()(()()),()fxfxfxfxxUx或0()0fx则xyo)(xfy121()0f2()0f400()(),()fxfxxUx证明只：就加以证明00(),xxUx当时00()()fxxfx就有，从而00()()0,0fxxfxxx00()()0,0fxxfxxx由极限的保号性，000x0()()()lim0fxxfxfxx000x0()()()lim0fxxfxfxx0()fxx而在点可导，0()0.fx所以有00lim(),,()0(()0)2.70(0)xxfxAxfxfxAA若且在的某空心领域内恒有或则或性质一.罗尔(Rolle)定理罗尔定理几何解释定理的证明注意事项例题罗尔定理():yfx若满足条件[(1,])ab在闭区间上连续;((),)2ab在开区间内可导;()(3)().fafb(,),ab则至少存在一点使得()0f几何解释•如果连续光滑的曲线y=f(x)在端点A,B处的纵坐标相等.那么,在曲线弧上至少有一点C(x,f(x))，曲线在C点的切线是水平的。xOyCabyf(x)AB()[,]fxabM由知，在上必有最值定理证：最大值明和.m最小值,1)(Mm若()fxm则()0(,).fxxab由此得，(,),ab()0.f都有.2)(Mm若(,),ab此时,存在().fm使,由费马引理()0.f所以现在，就对此进行讨论：注意：f(x)不满足条件(1)f(x)不满足条件(3)f(x)不满足条件(2)BxOyAabxOyABabcxOyABab如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。在],0[上连续,),0(内可导,且0)()0(ff,例1验证，xxfsin)(，xxfcos)(02f，.),0(211,()[0,1](0,1)2,10()fxf设在上连续在内可导且例，1(0,1),()()0.ff证明：存在使得分析：先将结论变形为：()()0ff其次，观察函数()()xfxfx看此函数为哪个函数的导数？？看出来了没有？！()()Fxxfx看出来了！！12,()[0,1](0,1)2,10()fxf设在上连续在内可导且例，1(0,1),()()0.ff证明：存在使得证明：构造辅助函数()()Fxxfx所以)(xF在]1,0[上满足罗尔定理的条件,故存在,)1,0(使得.0)()()(ffF()()()Fxxfxfx则(0)0(1)(1)0FFf而：，1()()0.ff故二.拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理几何解释定理的证明推论例题拉格朗日中值定理()()()fbfafba():yfx若满足条件[(1,])ab在闭区间上连续;((2,))ab在开区间内可导;(,),ab则至少存在一点使得几何意义•在曲线弧AB上至少存在一点C,在该点处的切线平行于弦AB.C2hxOyABaby=f(x)C1证明容易验证,)(xF满足罗尔定理的条件,于是),(ba,使即abafbff)()()(.作辅助函数，)()()()()()(axabafbfafxfxF，0)()()()(abafbffF如果在),(ba内恒有0)(xf,则)(xf在),(ba内为一常数.推论1),(,),(2121xxxxba内任取两点在)())(()()(211212xxxxfxfxf则，0)()(,0)(12xfxff.)()(12xfxf即由21,xx的任意性可知,)(xf常数,),(bax.证明在],[21xx上对)(xf使用拉格朗日定理,如果)(xf和)(xg在),(ba内可导,且在),(ba内恒有)()(xgxf,则在),(ba内)(xf和)(xg最多相差一个常数.由推论1知Cxgxfx)()()(，作辅助函数)()()(xgxfx,则0)()()(xgxfx,推论2证明即得结论。xxfln)(,在e],1[上满足拉格朗日定理的条件,例3，xxf1)(，1e11e)1()e(ff，e),1(1e.1e)1()e()(fff使而2)0(f,故2)(xf,]1,1[x.证明恒等式2arccosarcsinxx,]1,1[x设xxxfarccosarcsin)(,]1,1[x01111)(22xxxf,)1,1(xCxf)(,)1,1(x且2)1()1(ff,类似可得：2cotarcarctanxx,Rx.例4证由推论1知,例5.)1ln(1,0xxxxx时证明当证()[0,],ftx在上满足拉格朗日定理的条件所以()(0)(),(0)0fxffxxln(1)1,(0)1xxx即111,(0)11xx而),1ln()(ttf设.)1ln(1xxxx即得利用拉格朗日定理证明不等式1ln(1)1,(0)1xxxx从而三.柯西(Cauchy)中值定理设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点(a，b)内，使得)()()()()()(gfagbgafbf如果取g(x)x，就变成了拉格朗日中值定理.说明：()()()()()[()()]()()fbfaFxfxfagxgagbga证明思路:辅助函数为1.(1),(2)2.3.4.(2)5.(2)6.7.作业：习题四(A)P137~138