《概率论与数理统计》第一章习题课

第一章习题课内容小结典型例题□本章要点提示□三种概率定义:古典概率、统计定义、公理化定义；概率性质:特别是概率的加法公式、减法公式、对立事件的概率公式及独立性和互不相容的结合等；概率的计算:古典概率、条件概率与乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式概率的公理化定义S,是它的是随机试验设E,AP,赋予一个实数的每一个事件对于样本空间AE:,A件如果它满足下列三个条的概率称之为事件;01AP非负性;12SP规范性,,,321有对于两两互斥事件AA2121APAPAAP可列可加性一、概率的公理化定义1性质0.P2性质,,,,21则两两互斥设有限个事件nAAA1212.nnPAAAPAPAPA3性质,有对于任何事件A.1APAP4性质,,则且为两事件、设BABABPAPBAP并且.BPAP二、概率的性质,都有对于任一事件A.1AP,,则为任意两个事件设BAABPBPAPBAPCBAPABPCPBPAPABCPBCPACP性质5对任意事件A,B有P(A-B)=P(A)-P(AB)性质6性质7称这种试验为等可能随机试验或古典概型.若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.AP中的基本事件总数包含的基本事件数SA三、古典概型古典概型中事件A的概率的计算公式:设A、B是两个事件，且P(B)0,则称)()()|(BPABPBAP1.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.四、条件概率2)在缩减的样本空间中直接计算2.条件概率的计算1)用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)五、乘法公式若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)六、事件的独立性事件A与B独立的充要条件是()()()PABPAPB七、伯努利定理：设在一次试验中,事件A发生的概率为，则在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率为p()(1),(0,1,,).kknknnPkCppkn,SE的样本空间为设试验nBBB,,,21,,则对且的一个划分为n,,,iBPSi210,恒有样本空间中的任一事件AniiiB|APBPAP1八、全概率公式njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(｜｜ni,,,21九、贝叶斯公式,SE的样本空间为设试验12,,,nAAA为样本空间的一个划分,B为S中的任一事件,且P(B)0,则有例1甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：例2.设A,B,C是三事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率.解=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)所求概率为P(A∪B∪C)由于ABCAB,或ABCBCP(ABC)P(AB)=0非负性0P(ABC)=0P(A∪B∪C)=3(1/4)-(1/8)=5/8例3已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,求P(A∪B).P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)故1213141)(ABP6121121)()()(BAPABPBP因此311241216141)(BAP解P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)例4每次试验成功率为，则在3次重复试验中至少失败一次的概率为_____.(01)pp31p例5设甲袋中装有n只白球,m只红球;乙袋中装有N只白球,M只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球.问取到白球的概率是多少?解设事件B表示“从甲袋中取出一只白球”则事件B表示“从甲袋中取出一只红球”事件A表示“从乙袋中取一只白球”.(),nPBnm1(|),1NPABNM.)1)(()(111)(MNmnnmnNMNNmnmMNNmnnAP按全概率公式P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)B—B—(),mPBnm(|).1NPABNM例6从0,1,…,9共十个数字中任取三个不同的数,设A表示“三个数中不含3和4”,则P(A)=715例7已知,且A与B相互独立，则P(A+B)=____,P(A-B)=_____.()0.3,()0.5PAPB0.650.15例8设，则P(AB)可能为____12(),()23PAPBA.0B.1C.0.6D.16D21.已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?解先假定男人数为M,女人数为N,求出一般结果.设从人数为M+N的人群中随机地挑选一人,A表示此人是男人的事件,B表示此人是色盲患者的事件.则,)(NMMAP,)(NMNAPP(B|A)=5%,P(B|A)=0.25%,要求P(A|B))()(BPABP而P(AB)=P(A)P(B|A)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)全概率公式)()()()()()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP贝叶斯公式%25.0%5%5NMNNMMNMM特别,M=N时,21200025.005.005.0%25.021%521%521)|(BAP28.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?解设事件Ai表示“第i人能译出”,i=1,2,3由题意P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,A1,A2,A3及其逆事件相互独立,三人中至少有一人能译出为事件A1∪A2∪A3法一:P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1)P(A2)-P(A1)P(A3)-P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)6.0413151413141513151413151法二:P(A1∪A2∪A3)=1-P(A1∪A2∪A3)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]6.0535214332541]411][311][511[1AABB——：努力学习，：不努力学习，：考试及格，：考试不及格__P(B|A)=0.9P(B|A)=0.9P(A)=0.9,P(A)=0.1—由题意：，，则—_P(A|B),P(A|B)_P(AB)P(B|A)==0.9P(AB)=0.81P(A)P(AB)P(B|A)==0.9P(AB)=0.09P(A)——————由，得，得———__P(AB)P(AB)P(A|B)=,P(A|B)=P(B)P(B)求———0.9=0.81+P(AB),P(AB)=0.09,P(B)=0.09+0.09=0.18__P(B)=0.82P(B)=P(AB)+P(AB)P(AB)=0.82-0.81=0.01P(AB)0.011P(AB)0.09P(A|B)===P(A|B)===0.5P(B)0.82820.18P(B)—————所以，又所以，——————P(B)=P(AB)+P(AB),P(A)=P(AB)+P(AB),P(B)=P(AB)+P(AB)——————,B=AB+AB,A=AB+ABB=AB+AB