二次函数的实际应用(面积最值问题)

1二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t为何值时s最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（SttStttttStttty[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x米，面积为S平方米则长为：xx4342432(米)则：)434(xxSx月日2xx34424289)417(42x∵104340x∴2176x∵6417，∴S与x的二次函数的顶点不在自变量x的范围内，而当2176x内，S随x的增大而减小，∴当6x时，604289)4176(42maxS(平方米)答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）易知CN=4-x，EM=4-y．过点B作BH⊥PN于点H则有△AFB∽△BHP∴PHBHBFAF，即3412yx，∴521xy，xxxyS5212)42(x，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y随x的增大而增大，对于42x来说，当x=4时，12454212最大S．【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、3F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1)四边形EFGH是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF=CG．∴△CEF是等腰直角三角形因此四边形EFGH是正方形．(2)设CE=x,则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)×10])24.02.0(102xx3.2)1.0(102x)4.00(x当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．作业布置：1．某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米)与小球运动时间t(单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度最大h4.9米．2．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x，y)都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为元/平方米．5m12mABCD提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边月日4上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为(D)A．424mB．6mC．15mD．25m解：AB=xm，AD=b，长方形的面积为ym2∵AD∥BC∴△MAD∽△MBN∴MBMABNAD，即5512xb，)5(512xb)5(512)5(5122xxxxxby,当5.2x时，y有最大值．4．将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（C）A．7B．6C．5D．45．如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是：35321212xxy，则该运动员此次掷铅球的成绩是(D)A．6mB．12mC．8mD．10m解：令0y，则：02082xx0)10)(2(xxxyOABMO（图5）（图6）（图7）6．某幢建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面340m，则水流落地点B离墙的距离OB是(B)A．2mB．3mC．4mD．5m解：顶点为)340,1(，设340)1(2xay，将点)10,0(代入，310a令0340)1(3102xy，得：4)1(2x，所以OB=37．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55yx的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（B）A．4.6mB．4.5mC．4mD．3.5m58．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x(m)，花园的面积为y(m²)．(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(xxy)20(22xx200)10(22x∵152400x∴205.12x∵二次函数的顶点不在自变量x的范围内，而当205.12x内，y随x的增大而减小，∴当5.12x时，5.187200)105.12(22maxy(平方米)答：当5.12x米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x解：(1)∵长为x米，则宽为350x米，设面积为S平方米．)50(313502xxxxS3625)25(312x∴当25x时，3625maxS(平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大．月日6(2)中间有n道篱笆，则宽为250nx米，设面积为S平方米．则：)50(212502xxnnxxS2625)25(212nxn∴当25x时，2625maxnS(平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD的边AB=6cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=xcm，CQ=ycm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式．ABCDPQ解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°.∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP，∠B=∠C=90°.∴△ABP∽△PCQ.,86,yxxCQBPPCAB∴xxy34612．11．如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD∴MF=2MN=2x∴EM=10-2x∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5∵1020x，∴50x当x=2.5时，S有最大值12.512．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳7子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为0.5米．答案：如图所示建立直角坐标系则：设caxy2将点)1,5.0(，)5.2,1(代入，caca5.2)5.0(12，解得5.02ca5.022xy顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？解：（1）根据题意，得xxxxS3022602自变量的取值范围是（2）∵01a，∴S有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)月日8（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y=，由图12-②所示，函数2y=的图像过（2，2），所以，故利润2y关于投资量的函数关系式是2221xy；（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得=21yy+==∵021a∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2x的右侧，z随x的增大而增大所以，当8x时，z的最大值为32．15．如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．9（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的