13.4课题学习最短路径问题

八年级上册13.4课题学习最短路径问题蒲团中学程巍如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间,线段最短FEDCBA①②③温故知新要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？垂线段最短张村河流泵站前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求ABlP为什么？问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？B··Al追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．BAlC如何将B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′CC′证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′轴对称（造桥选址问题）如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）AMNB我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？abAMNBabAMNB由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。这样问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小。作法：1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AB交河对岸于点N,则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得AM∥A'N且AM=A'N,MN=M'N',所以A.B两地的距离:AM+MN+BN=A'N+MN+NB=A'B+MN,若桥的位置建在N'处，过N'作N'M'⊥a,垂足为M',连接AM'.A'N'.BN',则AB两地的距离为：AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B,在△A'N'B中，∵A'N'+N'B＞A'B,∴A'N'+N'B+MN＞A'B+MN,即AM'+M'N'+N'B＞AM+MN+BN所以在点N的位置建桥MN，AB两地的路径AMNB最短。abAMNBA'M'N'将AM沿与河岸方向垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A'，则AA'=MN,AM+NB=A'N+NB,这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？abAMNBA'回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？平移勇攀高峰练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．ABCPQ山河岸大桥小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．利用轴对称和平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.AMONBC当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小教科书复习题13第15题．布置作业