第三章-测度论

第三章测度论§1外测度§2可测集§3可测集类引言引言：19世纪的数学家们已经认识到，古典的黎曼积分在理论上有很大的局限性，为了解决分析中提出的许多问题，有必要改造和推广原有的积分定义。注意到黎曼积分与长度、面积、体积等度量有密切的关系，所以积分概念的推广，自然要想到对Rn中的点集给于一种度量，使之成为长度、面积、体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。测度论的思想和方法已经是近代分析、概率论及其他学科必不可少的工具。实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要的勒贝格测度与勒贝格积分理论。长度公理：设有实数直线上的一些点集所构成的集合族，若对于每一个，都对应一个实数（在上定义了一个实函数使得Em()mE（1）非负性：（2）有限可加性：如果两两不相交，那么（3）正则性：()0mE12,,...,nEEE1212(...)()()...()nnmEEEmEmEmE([0,1])1m该长度公理实际上只给出了区间的长度，黎曼积分中划分之后区间的长度就是一个点集，已经不是一个区间，再如[0,1]中有理数集合的长度或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。勒贝格测度公理：设有实数直线上的一部分集合族，使得每一个，都对应一个实数（在上定义了一个实函数，满足Em()mE（1）非负性：（2）可列可加性：如果两两不相交，那么（3）正则性：()0mE12,,...,,...nEEE1212(......)()()...()...nnmEEEmEmEmE([,])mabba问题：是否每一个集合都有测度？内填外包法（测量不规则图形的面积）内填：内部填满图形的那些格子的面积之和中的最大者，即不足近似值。外包：外部包围图形的那些格子的面积之和中的最小者，即过剩近似值。当格子越来越密时，小正方形的面积趋于0，过剩和不足近似值能够趋于同一个数值，这个值便是图形的面积。→集合E↓闭集↓取包含E的那些开集的测度的下确界→外测度↓用来填上E的内部的闭集的测度的上确界→内测度↓外测度和内测度相等→可测↓开集§1外测度1、勒贝格外测度设E为中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间，做出它的体积总和（可以等于，不同的区间列一般有不同的），所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确界（由E完全确定）称为E的勒贝格外测度，简称L外测度或外测度，即nR1iiIE1||iiI11inf||iiiiEImEI例题1：有限点集的外测度是0.例题2：可数点集的外测度为0.设E为[0,1]中的全体有理数，则0mE可得到：有理数所成之集是零测集。2、勒贝格外测度性质（1）（2）非负性：（3）单调性：设，则（4）次可数可加性0m0mEABmAmB11iiiimAmA例题3：可数个零测积之和集是否为零测集？例题4：康托集是零测集。（3）正则性：包含在中的所有有限开区间。3、勒贝格外测度涵义优点：任何集合都有外测度。例题5：对于区间I有mII缺点：外测度只具有次可数可加性，不具有可数可加性。对外测度加以限制，设法在中找出某一集合类，在上满足（1）封闭性：对某些运算应该封闭；（2）可数可加性：11()iiiimEmEnRnR问题：如何从中挑出集合类呢？nR如下构造：从可加性条件加以思考，附加一个判断中集合属于的条件即可。nR设，如果，由于中任何开区间I都属于，由的运算封闭性，则所以有（1)nERnRE(),(),IEIEð()(),IEIEIð()(),IEIEð()()mImIEmIEð反之，如果存在某个开区间I，使上式不成立，则E自然不应该属于引理：设，则(1)是对中任何开区间都成立的充要条件是对中的任何点集T都有nERnRnR()()mTmTEmTEð§2可测集1、勒贝格测度设E为中的点集，如果对任一点集T都有nR()()mTmTEmTEð则称E是L可测的，这时E的L外测度即称为E的L测度，记为mEmE2、勒贝格测度运算性质（1）集合E可测对于,总有,AEBEðmABmAmB（2）S可测可测。Sð（3）设可测，则也可测，并且当,对于任意集合T总有12,SS12SS12SS1212()()mTSSmTSmTS推广：设可测，则也可测，并且当,对于任意集合T总有(1,2,...,)iSinijSS11()nniiiimTSmTS1niiS,ij（4）设可测，则也可测。12,SS12SS推广：设可测，则也可测。(1,2,...,)iSin1niiS（5）设可测，则也可测。12,SS12SS（6）设是一列互不相交的可测集，则也是可测集，且{}iS11iiiimSmS1iiS推广：设是一列可测集，则，也是可测集。{}iS1iiS1iiS（7）设是一列递增的可测集：令，则{}iS1liminniSSSlimnnmSmS12nSSS（8）设是一列递降的可测集：令，则当时，{}iS1liminniSSSlimnnmSmS12nSSS1mS3、勒贝格测度性质（1）（2）非负性：（3）单调性：设可测，且，则（4）可列可加性：设是一列互不相交的可测集()0m0mEABmAmB,AB{}iE11iiiimEmE§3可测集类1、零测集凡外测度为0的集合都是可测集，称为零测集。零测集性质：（1）零测度集的任何子集都为零测度集。（2）有限个或可数个零测度之和集仍为零测度集。2、常见可测集（1）区间I（不论开、闭或半开半闭区间）都是可测集合，且（2）凡开集、闭集皆可测。mII