因式分解最全方法归纳

1因式分解最全方法归纳乐水散人整理于2015.09一、因式分解的概念与原则1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。2、原则：（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；（2）结果最后只留下小括号；（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；（4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；（5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；（6）相同因式的乘积写成幂的形式；（7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。如另有要求，在要求的范围内分解。3、因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”二、因式分解的方法1、提取公因式公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的，要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。注意事项：（1）先确定公因式，一次把公因式全部提净；（2）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1不可丢掉；（3）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。例1、分解因式：6a2b–9abc+3ab解：原式=3ab(2a-3c+1)例2、分解因式：–12x3y2+4x2y3解：原式=–4x2y2(3x–y)总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。22、公式法分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解成因式。平方差a2–b2=(a+b)(a–b)完全平方(a±b)2=a2+b2±2ab(a+b+c)2=a2+b2+2ab+2bc+2ca立方差a3–b3=(a–b)(a2+b2+ab)立方和a3+b3=(a+b)(a2+b2–ab)三项立方和a3+b3+c3–3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2–ab–bc–ac)完全立方(a+b)³=a³+3ab²+3a²b+b³(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³高次方和an–bn=(a–b)[a(n–1)+a(n–2)b+……+b(n–2)a+b(n–1)]高次方差am+bm=(a+b)[a(m–1)-a(m–2)b+……-b(m–2)a+b(m–1)](m为奇数)部分公式的推导：a2–b2=a2+ab–ab–b2=(a2+ab)–(ab+b2)=a(a+b)–b(a+b)=(a+b)(a–b)a3+b3=a3+a2b-a2b+b3=a2(a+b)-b(a2-b2)=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)[a2-b(a-b)]=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=a3-a2b+a2b-b3=a2(a-b)+b(a2-b2)=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)=(a-b)[a2+b(a+b)]=(a-b)(a2+ab+b2)例3、分解因式：x6-64y6解一：原式=(x3)2–(8y3)2=(x3+8y3)(x3–8y3)=(x+2y)(x2–2xy+4y2)(x–2y)(x2+2xy+4y2)解二：x6-64y6=(x2)3–(4y2)3=(x2–4y2)(x4+8x2y2+16y4–4x2y2)=(x+2y)(x–2y)[(x2+4y2)2–(2xy)2]=(x+2y)(x–2y)(x2+2xy+4y2)(x2–2xy+4y2)注意：分解时既用平方差公式又用立方差公式，一般先用平方差公式，可简化步骤。3、分组分解法多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从局部看，能够提取公因式或利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能够提取公因式或利用公式。例4、分解因式：am+an–bm–bn解：原式=(am+an)–(bm+bn)=a(m+n)–b(m+n)=(a–b)(m+n)3例5、分解因式：a2+b2–c2–2ab解：原式=(a2–2ab+b2)–c2=(a–b)2–c2=(a–b+c)(a–b–c)4、十字相乘法（1）形如ax2+bx+c的二次三项式，如果有mn=a，pq=c，且mq+np=b,则可把该式分解为ax2+bx+c=(mx+p)(nx+q)。注意：凡是能十字相乘法分解的二次三项式ax2+bx+c，都要求判别式Δ=b2–4ac≥0，能在有理数范围内分解的，还必须是一个完全平方数。例6、分解因式：3x2–11x+10解：原式=(3×1)x2+[1×(-5)+3×(-2)]x+(–2)×(–5)=(x-2)(3x-5)例7、分解因式：6x2y2–xy–15解：原式=2×3x2y2+[2×(–5)+3×3]xy+3×(–5)=(2xy+3)(3xy-5)例8、已知k为正整数，2x2+3x+k能够在整数范围内分解因式，求k值。解：Δ=32–4×2k=9–8k≥0，k≤98，且为正整数∴k=1例9、（2004⋅杭州）要是二次三项式x2–5x+p在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（）。A、2个B、4个C、6个D、无数个解：Δ=（–5）2–4p=25–4p≥0，即p≤254只要p能分解为和为–5的两个数，这样的数有无数组，故选D（2）二次项系数为1时，是相对上面标准二次三项式的简化。x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例10、分解因式：x2–5x+6解：原式=x2+[(–2)+(–3)]x+(–2)×(–3)=(x–2)(x–3)例11、分解因式：x2–2x–35解：原式=x2+[5+(–7)]x+5×(–7)=(x+5)(x–7)4（3）对于齐次多项式ax2+bxy+cy2，将一个字母当做常数处理，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用十字相乘法进行分解。例12、分解因式：15x2+7xy-4y2解：原式=(5x+4y)(3x–y)例13、分解因式：x2–6xy+8y2解：原式=(x–4y)(x–2y)（4）对于高次多项式形如ax2n+bxn+c或ax2n+bxnym+cy2m的，参照上面方法进行，分解后的多项式由于次数较高，如果有能继续分解的要继续分解，直至分解彻底。例14、分解因式：2s4–5s2+3解：原式=(s2–1)(2s2–3)=(s+1)(s–1)(2s2–3)例15、分解因式：12m4–19m2n2–18n4解：原式=(4m2–9n2)(3m2+2)=(2m+3)(2m–3)(3m2+2)5、拆项法（包含添项法）把多项式的某一项拆开成其和与原项相等的两项或多项，一个不存在的项也可以拆成其和为0的两项或多项（也称添项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。注意：拆项（或添项）必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换，否则此处一步错，后面步步错。例16、分解因式：x3–3x2+4解一：原式=x3+1–3x2+3=(x+1)(x2–x+1)–3(x+1)(x–1)=(x+1)(x2–x+1–3x+3)=(x+1)(x2–4x+4)=(x+1)(x–2)2解二：原式=(x3–3x2–4x)+4x+4=x(x2-3x–4)+4(x+1)=x(x+1)(x–4)+4(x+1)=(x+1)(x2–4x+4)=(x+1)(x–2)2例17、分解因式：bc(b+c)+ca(c–a)–ab(a+b)解：原式=bc(c-a+a+b)+ca(c–a)–ab(a+b)=bc(c–a)+ca(c–a)+bc(a+b)–ab(a+b)=c(c–a)(b+a)+b(a+b)(c–a)=(c+b)(c–a)(a+b)例18、分解因式：x9+x6+x3–3解：原式=x9–1+x6–1+x3–1=(x3–1)(x6+x3+1)+(x3–1)(x3+1)+(x3–1)=(x3–1)(x6+x3+1+x3+1+1)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)56、配方法有些多项式可以使用拆项法将其配成一个完全平方式，然后剩余部分再利用平方差公式，就能将其因式分解。（1）为了方便运算，二次项系数不为1时，先提出二次项系数，使其变为1。（2）对于形如x2+bx+c的二次三项式，作变换：x2+bx+c=x2+bx+（b2）2+c–（b2）2。（3）对于齐次多项式x2+bxy+cy2，将一个字母当做常数处理，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用配方法进行分解。（4）对于高次多项式形如x2n+bxn+c或x2n+bxnym+cy2m的，参照上面方法进行。例19、分解因式：x2+3x–40解：原式=x2+3x+(32)2–40–(32)2=(x+32)2–(132)2=(x+8)(x-5)例20、分解因式：5x4–20x2y2–105y4解：原式=5(x4–4x2y2–21y4)=5(x4–4x2y2+4y4–4y4–21y4)=5(x4–4x2y2+4y4–25y4)=5[(x2–2y2)2–(5y2)2]=5(x2+3y2)(x2–7y2)总结：能够用配方法分解的多项式，均可用十字相乘法分解。但配方法作为一种重要的数学方法，除因式分解外还有很多重要应用，必须熟练掌握。7、换元法把多项式中某些部分看成一个整体，用新字母代替，叫做换元。换元后进行因式分解，然后再转换回来。（1）对多项式中复杂部分换元，简化计算，避免出错。例21、分解因式：2015x2–(20152–1)x–2015解：设K=2015，原式=Kx2–(K2–1)x–K=(Kx+1)(x–K)=(2015x+1)(x-2015)（2）形如abcd+e的多项式，先经过适当分组，两两展开，再换元以求简便。例21、分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2解：原式=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2设M=x2+5x+6，则x2+7x+6=M+2x原式=M(M+2x)+x2=x2+2Mx+M2=(x+M)2=(x+6x+6)2例22、要使多项式(x–1)(x+3)(x–4)(x-8)+m为一个完全平方式，则m等于(　　)A、12B、24C、98D、1966解：原式=(x–1)(x–4)(x+3)(x–8)+m=(x2–5x+4)(x2–5x–24)+m设x2–5x+4=y，则x2–5x–24=y–28原式=y(y–28)+m=y2+28y+m∴m=(282)2=196选择D（3）按字母的降幂排列，每一项的次数依次减1，且系数成轴对称的等距离多项式，提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。例23、分解因式：2x4–x3–6x2–x+2解：原式=x2(2x2–x–6–1x+2x2)=x2[2(x2+1x2)–(x+1x)–6]设x+1x=A，则x2+1x2=A2–2原式=x2[2(A2–2)–A–6]=x2(2A2–A–10)=x2(2A–5)(A+2)=x2(2x+2x–5)(x+1x+2)=x(2x+2x–5)x(x+1x+2)=(2x2–5x+2)(x2+2x+1)=(x+1)2(2x–1)(x–2)例24、分解因式：x4–4x3+x2+4x+1解：原式=x2(x2–4x+1+4x+1x2)=x2[(x2+1x2)–4(x–1x)+1]设x–1x=A，则x2+1x2=A2+2原式=x2(A2+2–4A+1)=x2(A2–4A+3)=x2(A–1)(A–3)=x2(x–1x–1)(x–1x–3)=(x2–x–1)(x2–3x–1)总结：对结构比较复杂的多项式，能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。8、主元法