函数奇偶性-习题课课件

进入学点一学点二学点三学点四学点五名师伴你行1.偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.2.奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内一个x,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数.3.奇偶性：那么，就说函数f(x)具有奇偶性.4.奇函数的图象关于对称,反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是；偶函数的图象关于对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是.返回目录f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)如果函数f(x)是奇函数或偶函数原点任意任意奇函数y轴偶函数名师伴你行5.若奇函数f(x)在［a,b］上是增函数，且有最大值M，则f(x)在［-b,-a］上是函数，且有.6.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=.7.若y=f(x)是偶函数，则f(x)与f(|x|)的大小关系是.8.若f(x)是奇函数或偶函数，则其定义域关于对称.返回目录增最小值-M0f(x)=f(|x|)原点名师伴你行返回目录学点一奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=(x-1)·;（2）f(x)=.x1x13|x3|x12【分析】先观察定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与f(x)之间的关系.若f(x)本身能化简，应先化简，再进行判断，可避免失误.名师伴你行【解析】（1）先确定函数的定义域，由≥0得-1≤x1，其定义域不关于原点对称，∴f(x)=(x-1)既不是奇函数,也不是偶函数.（2）函数f(x)的定义域为［-1,0)∪(0,1］,关于原点对称，∵f(x)==∴f(-x)===-f(x),即函数f(x)是奇函数.x1x13x3x12xx12x1x1xx)(12xx12返回目录名师伴你行【评析】（1）判断函数奇偶性分两步：一是定义域是否关于原点对称；二是判断f(-x)=f(x)还是f(-x)=-f(x).（2）如果一个函数的定义域关于原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数.（3）定义域关于原点对称，满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数，既是奇函数，又是偶函数，如f(x)=0,x∈R.返回目录名师伴你行返回目录判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+;（2）f(x)=x2+;（3）f(x)=x+;（4）f(x)=.2x1x1x2x11x2x1(1)定义域为A={x|x∈R，且x≠0}.因此,当x∈A时，-x∈A.∵f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x),∴f(x)为奇函数.(2)定义域为A={x|x∈R，且x≠0}.因此,当x∈A时，-x∈A.f(-x)=(-x)2+=x2+=f(x).∴函数f(x)=x2+为偶函数.2x)(12x1x1x12x1名师伴你行返回目录（3）函数的定义域为A={x|x0}，关于原点不对称，∴函数f(x)=为非奇非偶函数.（4）由1-x2≥0x2-1≥0∴x=±1.∴函数的定义域为{-1,1},于是f(x)=0,x∈{-1,1}.满足f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0.∴f(x)既是奇函数，又是偶函数.x1x1得x2名师伴你行返回目录学点二由奇偶性求函数解析式设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2+x+1,求函数解析式.【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x≥0和x0时解析式间的联系.【解析】当x0时，-x0，由已知得f(-x)=x2-x+1,∵f(x)为R上的奇函数，∴f(-x)=-f(x)=x2-x+1,∴f(x)=-x2+x-1,又∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0.x2+x+1，x0，∴0，x=0，-x2+x-1，x0.f(x)名师伴你行返回目录【评析】（1）求f(x)在什么范围上的解析式，则取x为这一范围上的任一值，再转化为条件.（2）在求函数的解析式时，应紧扣题目中的已知条件，当求自变量在不同区间上的不同表达式时，要用分段函数的形式表示出来.名师伴你行返回目录已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=x|x-2|，求当x0时，f(x)的表达式.设x0，则-x0，且满足表达式f(x)=x|x-2|,∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.故当x0时，f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.名师伴你行返回目录学点三奇偶性的证明函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，求证：f(x)为奇函数.【分析】因为对于a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，所以可以令a,b为某些特殊值，得出f(-x)=-f(x).【证明】令a=0，则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又令a=-x,b=x，代入f(a+b)=f(a)+f(b)得f(-x+x)=f(-x)+f(x),即0=f(-x)+f(x),∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.【评析】证明函数的奇偶性，即证明f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立.这需要对给定函数方程中的x,y赋值，使其变成含f(x),f(-x)的式子，然后判定.名师伴你行返回目录设函数f(x)定义在上.证明：f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数.),(ll证明:由于对任意的x∈，必有-x∈.可见f(-x)的定义域也是.若设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x).则F(x)与G(x)的定义域也是，显然是关于原点对称的区间,而且F(-x)=f(-x)+f［-(-x)］=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f［-(-x)］=f(-x)-f(x)=-［f(x)-f(-x)］=-G(x).所以F（x）为偶函数，而G（x）为奇函数.),(ll),(ll),(ll),(ll名师伴你行学点四奇偶性与单调性的综合应用设函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，且f(x)0，试判断函数F(x)=在(-∞,0)上的单调性，并给出证明.)(1xf【分析】F（x）的单调性的判定与f(x1),f(x2)的大小有关，而f(x)在(0,+∞)上为减函数，可由此建立关系.返回目录名师伴你行返回目录【解析】F(x)在(-∞,0)上是增函数，以下进行证明：设x1,x2∈(-∞,0)，x1x2,则x2-x10，且-x1,-x2∈(0,+∞),且-x1-x2,∴(-x2)-(-x1)=x1-x20,∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(-x2)-f(-x1)0①又∵f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数，∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),由①式得-f(x2)+f(x1)0,F(x2)-F(x1)=))f(xf(x)f(x)f(x)f(x1)f(x1212112名师伴你行又∵f(x)在(0,+∞)上总小于0，∴f(x1)=-f(-x1)0,f(x2)=-f(-x2)0,f(x1)·f(x2)0,又∵f(x1)-f(x2)0,∴F(x2)-F(x1)0，且x2-x10,故F(x)=在(-∞,0)上是增函数.)(1xf返回目录【评析】解决综合性问题，关键是熟练掌握函数的性质.名师伴你行已知函数f(x)在(-1,1)上有定义，f（）=-1，当且仅当0x1时，f(x)0，且对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f（），试证明：（1）f(x)为奇函数；（2）f(x)在(-1,1)上单调递减.21xy1yx返回目录名师伴你行证明:（1）由f(x)+f(y)=f（）,令x=y=0，得f(0)=0.令y=-x，得f(x)+f(-x)=f（）=f(0)=0,∴f(x)=-f(-x)，∴f(x)为奇函数.（2）先证f(x)在(0,1)上单调递减，令0x1x21，即x2-x10,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f（）,返回目录2x1xxxy1yx2112xx1xx名师伴你行∵0x1x21,∴x2-x10,1-x1x20,∴0,又∵(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)0,∴0x2-x11-x1x2,∴01,由题意知0，即f(x2)-f(x1)0,∴f(x)在(0,1)上为减函数.又∵f(x)为奇函数，且f(0)=0,∴f(x)在(-1,1)上单调递减.返回目录2112xx1xx2112xx1xx2112xx1xx名师伴你行学点五奇偶性在求变量范围中的应用设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上递增，且有f(2a2+a+1)f(2a2-2a+3)，求a的取值范围.【分析】要求a的取值范围，就要列关于a的不等式（组），因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”是关键.返回目录名师伴你行返回目录【解析】由f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上递增知f(x)在(0,+∞)上递减.∵2a2+a+1=2（a+）2+0,2a2-2a+3=2（a-）2+0,且f(2a2+a+1)f(2a2-2a+3),∴2a2+a+12a2-2a+3,即3a-20,解之得a.∴a的取值范围是a.418721323225【评析】该例在求解过程中用到了前面提到的减函数定义的逆命题.名师伴你行（1）定义在(-1,1)上的奇函数f(x)为减函数，且f(1-a)+f(1-a2)0，求实数a的取值范围；（2）定义在［-2,2］上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1-m)g(m)成立，求m的取值范围.返回目录（1）∵f(1-a)+f(1-a2)0,∴f(1-a)-f(1-a2),∵f(x)为奇函数,∴f(1-a)f(a2-1),又∵f(x)在(-1,1)上为减函数，∴1-aa2-1-11-a1-1a2-11,解得0a1.（2）因为函数g(x)在［-2,2］上是偶函数，则由g(1-m)g(m)，可得g(|1-m|)g(|m|),又当x≥0时，g(x)为减函数，得到|1-m|≤2|m|≤2解之得-1≤m|1-m||m|,.21名师伴你行返回目录1.在函数的奇偶性中应注意什么问题？（1）对于函数奇偶性的理解①函数的奇偶性与单调性的差异:函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个值x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）,才能说f(x)是奇（或偶）函数.②奇（或偶）函数的定义域必须是关于原点对称的，如果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数.名师伴你行（2）函数按奇偶性分类①有的函数是奇函数；②有的函数是偶函数；③如果对于函数定义域内任一个x，f(-x)=f(x)与f(-x)=-f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数，又是偶函数.既是奇函数又是偶函数的表达式是唯一的：f(x)=0,x∈A，定义域A是关于原点对称的非空数集；④有的函数既不是奇函数，也不是偶函数.（3）用定义判断函数奇偶性的步骤①考查定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)=±f(x)之一是否成立.返回目录名师伴你行2.奇偶函数的图象有什么几何性质？（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.（2）若奇函数y=f(x)在x=0时有定义，则由奇函数定义知f(-0)=-