有限单元法

有限元法内容简介有限元法是结构分析的一种数值计算方法。它在20世纪50年代初期随着计算机的发展应运而生。这一方法的理论基础牢靠，物理概念清晰，解题效率高，适应性强，目前已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。本章介绍了如下内容:■有限元法的基本思想及应用■平面问题有限元分析原理及步骤■有限元法的设计应用及计算实例内容结构3第一节概述第三节工程应用第二节有限单元法的分析步骤概述在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。目前求解这类场问题的方法主要有两种：●用解析法求得精确解；●用数值解法求其近似解。其中，能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。目前，工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法有限元法边界元法其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广。目前它已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。6场问题解析法数值法有限差分法有限元法边界元法第一章概述71.1有限单元法的概念1.2有限单元法特点及分类1.3在现代设计过程中的作用1.4发展历史及前沿技术第一章概述81.1有限单元法的概念基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决工程技术问题。FiniteElementMethod-_FEMFiniteElementAnalysis910△x1△x2△x311边界条件：△x1=01213将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，列出方程组并求解核心思想之一常见的系统结构热几何实体载荷物理系统电磁1516有限元方法的基本思想是先化整为零,再积零为整，也就是把一个连续体人为分割成有限个单元；即把一个结构看成由若干通过结点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进行整体分析。“一分一合”17从数学的角度来看，有限元方法是将一个偏微分方程化成一个代数方程组，然后利用计算机进行求解的方法。由于有限元法采用了矩阵算法，因此借助计算机便可以快速地算出结果。18有限单元法的特点及分类优点：1.对复杂几何形状的适应性192.对各种问题的可适用性203.适合计算机实现的高效性21按所取未知量的不同：有限元法分类•位移法——以节点位移作为基本未知量；•力法——以节点力作为基本未知量；•混合法——以一部分节点位移，一部分节点的力作为基本未知量。22三大类型(按其推导方法分):(1)直接刚度法(简称直接法):根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。(2)变分法直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极值问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。(3)加权余量法直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。23有限元法在现代设计过程中的作用1．应力和变形的计算，有利于提高产品的安全可靠性一方面消除了设计过程中的一个不确定环节，另一方面，在准确把握载荷与应力应变关系的基础上，又可以适当地采用小的安全系数来进行设计，从而有效降低成本。242．产品性能与结构优化仿真分析，缩短新产品开发周期与研制费用采用有限单元法进行产品性能、结构优化仿真研究并与物理仿真相结合的方法则可有效减少性能测试样品的数量以及方案寻优的次数，从而有效缩短新产品开发周期与研制费用。如汽车的碰撞性能模拟等。25工程问题的理论性研究，为产品的设计与产品使用提供理论依据成为到目前为止工程问题理论研究最强大的工具之一，也是现代设计过程及产品使用获得理论依据的最重要的手段之一26有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。然而，这种思想自古有之。齐诺曾说道：“空间是有限的和无限可分的。故，事物要存在必有大小。”亚里士多德也讲过：“连续体由可分的元素组成。”古代人在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法有限单元法的发展历史与前沿技术27有限单元法的发展历史有限元法的发展历程可以分为：•提出(1943)•发展(1944一1960)•完善(1961-二十世纪九十年代)三个阶段。281943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。1946年计算机诞生，开始用来进行数值计算杆系结构力学。2930有限元法早期(1944一1960)发展阶段中，得出了有限元法的原始代数表达形式，开始了对单元划分、单元类型选择的研究，并且在解的收敛性研究上取得了很大突破。1960年，克劳夫第一次提出了“有限元法”这个名称，标志着有限元法早期发展阶段的结束。31有限元法完善阶段(1961一二十世纪九十年代)的发展有国外和国内两条线索。在国外的发展表现为:第一，建立了严格的数学和工程学基础;第二，应用范围扩展到了结构力学以外的领域;第三，收敛性得到了进一步研究，形成了系统的误差估计理论;第四，发展起了相应的商业软件包。32在国内，我国数学家冯康独立于西方提出了有限元法。1965年，他发表论文《基于变分原理的差分格式》，标志着有限元法在我国的诞生。冯康的这篇文章不但提出了有限元法，而且初步发展了有限元法。他得出了有限元法在特定条件下的表达式，独创了“冯氏大定理”并且初步证明了有限元法解的收敛性。虽然冯康创造的有限元法不成熟，但他能在当时的条件下独立提出有限元法已十分不易。对于他的这项成就，国内外专家学者和国家领导人都有很高的评价。33有限元技术的发展趋势分析功能不断丰富•可变形体与多体耦合•多相多态介质耦合与多物理场耦合•多尺度耦合分析34有限元技术的发展趋势性能不断增强35有限元法的前沿技术•与CAD软件的无缝集成36•由求解线性工程问题进展到分析非线性问题随着科学技术的发展,线性理论已经远远不能满足设计的要求。例如建筑行业中的高层建筑和大跨度悬索桥的出现,就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题;航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力,也要考虑材料的非线性问题;诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现,仅靠线性计算理论就不足以解决遇到的问题,只有采用非线性有限元算法才能解决。众所周知,非线性的数值计算是很复杂的,它涉及到很多专门的数学问题和运算技巧,很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件,并广泛应用于工程实践。这些软件的共同特点是具有高效的非线性求解器以及丰富和实用的非线性材料库。3738•从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析,实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足够小,所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求解几个交叉学科的问题。39例如当气流流过一个很高的铁塔时就会使铁塔产生变形,而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解,即所谓流固耦合的问题。40•增强可视化的前置建模和后置数据处理功能早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效率求解方法和高精度的单元。随着数值分析方法的逐步完善,尤其是计算机运算速度的飞速发展,整个计算系统用于求解运算的时间越来越少,而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。在现在的工程工作站上,求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。41但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强调可视化的今天,很多程序都建立了对用户非常友好的GUI(GraphicsUserInterface),使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的列表输出。42•在Wintel平台上的发展早期的有限元分析软件基本上都是在大中型计算机上开发和运行的,后来又发展到以工程工作站为平台,它们的共同特点都是采用UNIX操作系统。PC机的出现使计算机的应用发生了根本性的变化,工程师渴望在办公桌上完成复杂工程分析的梦想成为现实。但是早期的PC机采用16位CPU和DOS操作系统,内存中的公共数据块受到限制,因此当时计算模型的规模不能超过1万阶方程。MicrosoftWindows操作系统和32位的IntelPentium处理器的推出为将PC机用于有限元分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此当前国际上著名的有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平台上。43444.2有限单元法的分析步骤有限元法的分析过程可概括如下：●结构离散化●单元分析●整体分析4647484950连续体离散化连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。离散化（划分网格或网络化）：是将任意形状的，受各种载荷和约束的连续体或结构划分成划分为有限个方位不同，但几何性质及物理性质均相似，具有规则形状的微小块体。5152把每个微小块体称为单元，相邻两个单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传递。这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。53有限单元计算所用到的数据1.个数（单元，节点，力约束）2.坐标3.单元组成及其物理性质4.点号（受力点，约束点）5455建立几何模型单元的划分56建立几何模型简化方法平面简化对称简化细节简化57平面应力平面应变5859606162636465666768单元划分方法及原则连续体离散化时，要根据设计对象的具体情况（结构物的形状、载荷特性、边界条件等），确定单元（网格）的大小和形状、单元的数目以及划分方案。杆状单元图5-2所示为杆状单元。可有一维、二维和三维梁单元。69planestresselementplanestrainelementplaneelement70Solidelement71Axisymmetricsolidelement72Plateelement73Plateelement线性、二次和三次单元747576777879单元划分原则•误差与单元尺寸成正比80•误差与单元单元最小内角正弦成反比81•分界线处单元划分82•载荷分布83•网格疏密84•凹槽，孔85逐步加密8687§4.2.3单元分析单元分析的主要内容：由节点位移求单元内部任一点的位移。根据几何方程，任一点的位移对坐标求偏导得到该点的应变。根据物理方程，由各点的应变求应力。根据平衡微分方程或虚功方程，由各点的应力求单元节点力(1)单元位移模式一、由节点位移求单元内部任一点的位移位移模式：假设的单元内各点位移所满足的分布规律，即假设位移是坐标的某种函数。选择位移模式时需满足的条件•满足收敛条件•较好地反映单元实际位移，便于数学处理1、位移模式的选取90满足收敛准则位移模式载荷移置应力矩阵刚度矩阵91当载荷给定时：有限元计算变形结果实际变形随网格细化，位移解从下方收敛于精确解，得到真实解的下限位移模式的人为设定多加约束；提高刚度92协调有限元解答的下限性（位移法）：解答的下限性—大趋于精确解的性质协调元这种位移由小变解答的下限性示意图刚度减少，位移增大细分其解小于真实解增加约束刚度增大给定位移有限自由度强行划分无限自由度93位移模式必须包含单元的刚体位移。保证收敛性，满足：果。单元整体刚性位移的结结点位移是元变形引起