依概率收敛

吕泽锋理学院随即变量序列两种收敛方式两种收敛：i)依概率收敛：用于大数定律（大数定律讨论的就是依概率收敛）ii)按分布收敛：用于中心极限定理.一：背景与定义1、背景2、依概率收敛定义，随机变量序列,,,1nXX，如果对于任何0，0||nnXXP，记XXnPr，等价于：对于任何0，0||nnXXP，称随机变量序列,,,1nXX依概率收敛于X。即：1limXXPnn⑴依概率收敛的意义：或者说：Xn对X的绝对偏差不小于一个任意小的给定量的可能性将随着n增大而越来越小，或者说绝对偏差XXn小于一个任意给定量的可能性将随n增大而越来越接近于1，上述定义也等价于1npXXn特别的当X为退化分布时，即1cXP，则称序列nX依概率收敛于c即：cXn⑵依概率收敛与微积分中的收敛的不同在于：微积分中的收敛是确定的，即对于任给的成立。时，必有当axNnn,0而依概率收敛是，对任给的，发生的概率为很大时，事件当1.0axnn但不排除偶然事件axn的发生。3、性质（1）baYXbYaXPnnPnPn,：证明一种说法。确定现象中关于收敛的所以说依概率收敛是不”发生不排除小概率事件“但正因为是概率，所以，”的概率接近于很大时，事件“，当，说明对于任给的收敛于依概率收敛。随机变量序列依概率收敛即依概率.10}{1xxxxnxXnnn2||2|)(||||)(||)()(|bYaXbYaXbaYXnnnnnn02||2|)(|2||2|)(||)()(|nnnnnnnbYPaXPbYaXPbaYXP因此0|)()(|nnnbaYXPbaYXPnn，同样可以证明（2）baYXbYaXPnnPnPn,（3）abYXbYaXPnnPnPn,（4）baYXbbYaXPnnPnPn//0,,（5）,aXPn函数xg在a连续，则agXgPn.证明：xg在a连续，故，对于任何0，存在0，当ax时，一定有)()(agxg，agXgPaXPagXgaXnnnn，现在,aXPn因此，对于任何01nnaXP，因此，n时11nnnaXPagXgP，1nnagXgP，0nnagXgP，agXgPn二、切贝谢夫大数律nXX,,1独立同分布，2)(,dXVaraEXii，则anXXPn1证明：特殊情况：贝努里大数律nXX,,1独立同分布，pXPpXPii1,10，则01nnpnXXP三、依分布收敛1：背景和定义对于随机变量序列,...2,1,iXi和某个随机变量X，假定X的cdf为xF，若，对于xF得任何连续点x，都成立xXPxXPni，即xFxFni，则称随机变量序列,...2,1,iXi依分布收敛到随机变量X。也可以说，cdfs,....2,1,ixFi弱收敛到xF注对概念的理解：（1）.什么是极限函数：对于一个分布函数序列xFn,当n时得到的函数xF，称其为xFn的极限函数，注意是n，而不是x。即：xFxFnnlim。例1设随机变量序列nX服从如下的退化分布（前面定义了什么是退化分布）11nXPn,n=1,2,3........则他的分布函数：1011nxnFxxn在点点都收敛的情况下xFn的极限函数是：注意极限函数后面限制中的x与分布函数是同等地位的.0lim0)2,1(,1,01limxFxgxnnxnxnnnn的情形，所以：包含了而分布函数中的第一段即极限函数中时，第一段：当法。中去，这就是上面的做函数算起概率是返还到分布极限函数中的条件在计取极限后算出的值作为中的跳跃点所以当我们对分布函数）这里的中这些跳跃点的值（如的计算极限函数取这样的点是为了更好划分实数轴的一个点，极限函数中为我们的的跳跃点出取极限后作是在分布函数中地位是相同的，我们只的中的与分布函数在条件限制限函数在条件限制中的这样是错误的，因为极段是在分布函数中的第二因为那么：的时即是极限函数中当分布函数中解特别注意：不要这样理的情况，所以：包含了而分布函数中的第一段时，即极限函数中第二段：当.0)1(11lim,01lim,1:.00lim001,01limgxxxxnxnFxgnxnnxFgxnxnxnnnnnnn1lim0...2,11,01lim,xFxgxnnxnxnnnn的情况，所以包含了段而在分布函数中的第二是极限函数第三段：当所以其极限函数是：0100xxxg但是我们注意到在间断点处x=0不满足分布函数的右连续，因为：0010limgxgx所以极限函数不能满足点点收敛。这就是为什么我们的定义中只考虑连续点。（2）只考虑连续点不考虑间断点的原因：除了上面所说的之外，我们还知道对于概率有贡献的点是连续点，对于单个间断点对概率没有贡献。所以我们只考虑连续点的收敛是合理的，这也是为什么定义中叫做弱收敛，因为点点收敛条件太强，要使一个分布函数序列点点收敛到一个极限函数是很苛刻的。很显然当xF是直线上的连续函数，那么此时的弱收敛就是点点收敛。（3）.对于xFxFnnlim的理解，其中xFn是第n个随机变量nX对应的分布函数，xF是是极限函数，也是随机变量序列nX按分布收敛到X对应的分布函数。（4）在我们的定义中，对分布函数序列称为弱收敛，而对其随机变量序列，则称为按分布收敛，这只是两种场合下的不同名称，本质都是一样的。2：定理，XXXXLnPn（或)(xFxFWn）证明：往证0)(lim)(lim0xFxFxFxFnnnn：先令xx'xXxXxXxXxXxXxXxXnnnn，，，''''因此xXxXxXxXPxXPnn，，'''')(')(')(''')'(xxXXPxFxxXXPxFxXxXPxFxXxXPxXxXPxXPxFnnnnnnnn，，，注意到0'nnxxXXP，)(lim')(lim')'(xFxxXXPxFxXPxFnnnnn，因此)(lim)0(xFxFnn同理可以证明0)(limxFxFnn说明