函数的奇偶性习题

函数奇偶性函数奇偶性的概念:偶函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.☆对奇函数、偶函数定义的说明:定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件（前提条件）。[a,b][-b,-a]xo利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(－x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论．判断函数的奇偶性判断下列函数是否具有奇偶性．(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．分析：先求定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．解析：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R.当x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．∴f(x)＝x＋x3＋x5为奇函数．(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴f(x)＝x2＋1是偶函数．(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R，∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，(x∈R)∴f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1,3]，而－3[－1,3]．∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函数，也不是奇函数．点评：定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提．练习.判断下列函数的奇偶性2()1,[1,4]fxxxx1()(1)1xfxxx(1)(2)(3)(4)22()11fxxx(1),0(1),0()xxxxxxfx说明：根据奇偶性,函数可划分为四类,①偶函数②奇函数③既奇又偶函数④非奇非偶函数题2.已知函数且f(-2)=10，则f(2)等于()A-26B-18C-10D108xxf(x)35bxaA已知f（x）=(21)221xxa是奇函数，则实数a的值等于12.函数f(x),g(x)在区间［-a，a］(a＞0）上都是奇函数，则下列结论：①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函数；②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函数；④f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是4跟踪训练2．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，使f(x)＜0的自变量范围是()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－∞，－4)∪(－1,0)D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)解析：根据题目条件，想象函数图象如下：答案：B利用函数的奇偶性求函数的解析式已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，求当x∈(0，＋∞)时，f(x)的表达式．解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x－x4.跟踪训练3．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．分析：将x0时，f(x)的解析式转化到x0上，这是解决本题的关键．解析：由f(x)是奇函数，当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－{(－x)[1－(－x)]}＝x(1＋x)；当x＝0时，f(0)＝－f(0)f(0)+f(0)=02f(0)=0即f(0)＝0.∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．作业、判断下列函数是否具有奇偶性1111fxxx22(0)(2)()(0)xxxfxxxx1．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(－x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论．2．若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数．3．若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．5．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．6．奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反．7．偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同．8．设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇题5.定义在R上的函数f（x）满足：任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0，f（x）＜0，f（－1）=2.求证：（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）f（x）在R上是减函数;（3）求函数在区间[－3，3]上的最值.练习：已知函数f(x)对一切x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)（1）求证：f(x)是奇函数；（2）若f(-3)=a，试用a表示f(12)