初中二次函数综合题经典习题

1二次函数综合题训练题型集合1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线mxy与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图2，已知二次函数24yaxxc的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离EBACP图1OxyDxyO3－9－1－1AB图22PBACOxyQ⌒图33、如图3，已知抛物线cxbxay2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB，过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C.（1）求这条抛物线的函数关系式.（2）两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动.设这两个动点运动的时间为t（秒)(0＜t＜4)，△PQA的面积记为S.①求S与t的函数关系式；②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；③是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.图4的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S与时间t之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；（4）求第8个月公司所获利是多少元？-30-1-21234S(万元)图4123456t(月)35、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线cxbxay2的顶点坐标为E（1,0），与y轴的交点坐标为（0,1）.（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥x轴交抛物线于D，过B作BC⊥x轴交抛物线于C.设A点的坐标为（t,0），四边形ABCD的面积为S.①求S与t之间的函数关系式.②求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由.6、(07浙江中考)如图6，抛物线223yxx与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。xyD图5EBACO1xyEO1备用图备用图图647、（07海南中考）如图7，直线434xy与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点0,1B.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S.①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设0S是②中函数S的最大值，那么0S=.CAMyBOx图7CAMyBOx备用CAMyBOx备用58、（05海南中考）如图8，抛物线cbxxy2与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.9、（04海口中考）如图9、已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.图8x经y经0经1经2经34经-1经-1经-2经-3经1经2经ABCD图9610、（07本校模拟一）如图10，已知点A(0,8)，在抛物线221xy上，以A为顶点的四边形ABCD是平行四边形，且项点B，C，D在抛物线上，AD∥x轴，点D在第一象限.(1)求BC的长；(2)若点P是线段CD上一动点，当点P运动到何位置时，△DAP的面积是7.(3)连结AC，E为AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线OE将ABCD分成面积相等的两部分？并求此时E点的坐标及直线OE的函数关系式.11、（07本校模拟二）一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，其表达式是caxy2的形式.请根据所给的数据求出ca,的值.（2）求支柱MN的长度.（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE是一条宽2米的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.ABCDOyx图10MN10米20米6米5米图11-1图11-2DEOxABCy7EFPBACOxyQ⌒图13二次函数综合题训练题型集合1、(1)m=1.∴所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.即y=x2-2x+1.(2)设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE.∴PE=h=yP-yE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.即h=-x2+3x(0＜x＜3).(3)存在.要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.∵点D在直线y=x+1上,∴点D的坐标为(1,2),∴-x2+3x=2.即x2-3x+2=0.解之，得x1=2，x2=1(不合题意，舍去)∴当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.2、解：（1）二次函数的表达式为642xxy．（2）对称轴为2x；顶点坐标为（2，-10）．（3）将（m，m）代入642xxy，得642mmm，解得121,6mm．∵m＞0，∴11m不合题意，舍去．∴m=6．∵点P与点Q关于对称轴2x对称，∴点Q到x轴的距离为6．3、（1）∴所求抛物线的函数关系式为xxy334332.（2）①过点B作BE⊥x轴于E，则BE=3，AE=1，AB=2.由tan∠BAE=3AEBE，得∠BAE=60°.（ⅰ）当点Q在线段AB上运动，即0＜t≤2时，QA=t，PA=4-t.过点Q作QF⊥x轴于F，则QF=t23，∴S=21PA·QFtt23)4(21tt3432.（ⅱ）当点Q在线段BC上运动，即2≤t＜4时，Q点的纵坐标为3，PA=4-t.这S=3)4(21t3223t②（ⅰ）当0＜t≤2时，3)2(4334322tttS.∵043，∴当t=2时，S有最大值，最大值S=3.（ⅱ）当2≤t＜4时，3223tS∵023，∴S随着t的增大而减小.∴当t=2时，S有最大值，最大值332223S.综合（ⅰ）（ⅱ），当t=2时，S有最大值，最大值为3.△PQA是等边三角形.③存在.当点Q在线段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得∠PQA=90°，这时PA=2QA，即4-t=2t，∴34t.∴P、Q两点的坐标分别为P1(34,0)，8Q1(310,332).当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-t和t，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-t=t，∴25t∴P、Q两点的坐标分别为P2(25,0)，Q2(25,3)4、（1）由图象可知公司从第4个月末以后开始扭亏为盈（2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2.∵所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得a(t-2)2-2=0，解得a=21.∴所求函数关系式为：S=21t-2)2-2或S=21t2-2t.（3）把S=30代入S=21t-2)2-2，得21t-2)2-2=30解得t1=10，t2=-6（舍去）.答：截止到10月末公司累积利润可达30万元.（4）把t=7代入关系式，得S=21×72-2×7=10.5把t=8代入关系式，得S=21×82-2×8=1616-10.5=5.5答：第8个月公司所获利是5.5万元.5、（1）∵抛物线cxbxay2顶点为F（1,0）∴2)1(xay∵该抛线经过点E（0,1）∴2)10(1a∴1a∴2)1(xy，即函数关系式为122xxy.（2）①∵A点的坐标为（t,0）,AB=4，且点C、D在抛物线上，∴B、C、D点的坐标分别为(t+4,0)，(t+4,(t+3)2)，(t,(t-1)2).∴20844])3()1[(21)(21222ttttABBCADS.②16)1(4208422tttS∴当t=-1时，四边形ABCD的最小面积为16此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD是正方形③当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，其对角线BD上存在点P,使得ΔPAE的周长最小.∵AE=4（定值），∴要使ΔPAE的周长最小，只需PA+PE最小.∵此时四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD所在直线对称,∴由几何知识可知，P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点.∵点E、B、C、D的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4）∴直线BD，EC的函数关系式分别为：y=-x+3,y=2x-2.∴P(35,34)在Rt△CEB中，CE=524222,∴△PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+52.6、解：（1）C（2，－3）∴直线AC的函数解析式是y=－x－1（2）设P点的横坐标为x（－1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，－x－1），（1分）E（2(,23)xxx∵P点在E点的上方，PE=22(1)(23)2xxxxx∴当xyEO1DBACP912x时，PE的最大值=94（3）存在4个这样的点F，分别是1234(1,0),(3,0),(47),(47)FFFF7、解：（1）∴438342xxy（2）顶点M的坐标为316,1过点M作MFx轴于F∴FOCMAFMAOCMSSS梯形四边形=1013164213161321∴四边形AOCM的面积为10