直线与平面垂直的判定定理

直线与平面垂直的判定生活中有很多直线与平面垂直的实例实例引入旗杆与地面垂直大桥的桥柱与水面垂直一条直线与一个平面垂直的意义是什么？AαB旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直．与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．直线垂直于平面内的任意一条直线．lP如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作．l平面的垂线直线l的垂面垂足直线与平面垂直的定义1.如果一条直线l和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线l和平面α互相垂直（）BCl线线垂直线面垂直2.,()abab性质定理直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α中的任意一条直线概念辨析思考（1）一条直线l与平面α内一条直线垂直可以判断直线l与平面α垂直吗？α（2）一条直线l与平面α内无数条直线垂直呢？laαA1B1D1C1BDCAB1D1C1A1ABCDA1B1D1C1ABCD实验：如下图，请同学们准备一块三角形的纸片。BDCA过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）。（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面α垂直？思考：是否把平面中的直线一一找出，才能证明直线与平面垂直？AD作为BC边上的高时，ADα，这时ADBC，即ADBD，ADCD，BD∩CD=D.结论：AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D，有AD⊥α.定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号语言：ababPllalb思想：线线垂直线面垂直例1一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点与旗杆脚距6m，那么旗杆就与地面垂直。为什么？分析：（1）两点与旗杆脚确定的平面就是地面。（2）能否在平面上找出两条相交直线，使得旗杆与它们垂直解：如图，旗杆PO=8m，两绳长PA=PB=10m，OA=OB=6m因为A，O，B三点不共线，所以A，O，B三点确定平面α（即地面所在面）又因为PO2+OA2=PA2，PO2+OB2=PB2，所以OP⊥OA，OP⊥OB.又因为OA∩OB=O，所以OP⊥α.因此，旗杆OP与地面垂直.POAB例2如图，已知OA、OB、OC两两垂直（1）求证：OA⊥平面OBC（2）求证：OA⊥BCBCOA分析：（1）要证OA⊥平面OBC，必须在平面OBC中找出两条与OA垂直的相交直线。因为OA、OB、OC两两垂直OA⊥OB、OA⊥OC.OA⊥OC，且OB∩OC=O.（2）OA⊥平面OBC，OA垂直平面内任意一条直线.证明：（1）∵OA、OB、OC两两垂直∴OA⊥OB，OA⊥OC，又∵OB∩OC=O∴OA⊥平面OBC（2）∵OA⊥平面OBCBC平面OBC∴OA⊥BC例2如图，已知a∥b,a⊥α,求证b⊥α.αab分析：能否在平面α内找出两条相交直线，使得b与它们垂直？证明：在平面内作两条相交直线m，n.mn因为直线a⊥α，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.又mα，nα，m，n是两条相交直线，所以b⊥α1、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC.ABCV分析：（1）要证线线垂直，首先证线面垂直（2）AC⊥VB所在的面，应该是哪一个面？给出VA=VC，AB=BC可以知道△VAC与△BAC都是等腰三角形证明：取AC的中点D，连结DV、DBD∵VA=VC，AB=BC∴△VAC与△BAC都是等腰三角形∴AC⊥DVAC⊥DB∵DV∩DB=O∴AC⊥平面VDB∴AC⊥VB⑴若E、F分别是AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系．AVBCEFK变式：⑵在⑴的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，VB⊥平面ABC”，对吗？小结要证线面垂直（根据定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。）