2-3-1直线与平面垂直的判定

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修2成才之路·数学·人教A版·必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系成才之路·数学·人教A版·必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2．3直线、平面垂直的判定及其性质第二章成才之路·数学·人教A版·必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章2．3.1直线与平面垂直的判定第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2课前自主预习思路方法技巧名师辨误做答课后强化作业课堂基础巩固第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2课前自主预习第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2温故知新1．在初中平面几何中能够转化为垂直关系的有：①等腰三角形底边上的中线底边；②菱形对角线互相；③正方形对角线互相；④圆的直径所对圆角等于.垂直平分垂直平分垂直平分90°第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修22．在上一节，我们已经学习了直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理及其应用，线面平行、面面平行的判定最终归结为线线平行的判定，并且研究了线面平行和面面平行的三种判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)反证法．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2新课引入在日常生活中，木工检查一根立柱是否与板面垂直的方法是用曲尺检查两次(只要检查两次，但曲尺靠板面的边两次不能在同一直线上)，如果板面和曲尺的两边完全吻合，便可判定立柱和板面垂直，你知道木工师傅在此过程中运用了哪些知识吗？第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2自主预习阅读教材P64～66回答下列问题．1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α任意一条第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2有关概念直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的．它们唯一的公共点P叫做．图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直垂线垂面垂足第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[破疑点](1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定[答案]D第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[解析]如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[点评]“任意一条直线”与“所有直线”意义相同，但与“无数条直线”意义不同．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修22．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α作用判断直线与平面相交a∩b＝P垂直第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[破疑点]直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：AC⊥平面BDD1B1.[分析]转化为证明AC⊥BD，AC⊥BB1.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[证明]∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BB1⊥平面AC，又AC⊂平面AC，∴BB1⊥AC.又四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.又BD⊂平面BDD1B1，BB1⊂平面BDD1B1，BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BDD1B1.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修23．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面，但不和这个平面，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引，过和的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角．相交垂直交点垂线垂足斜足锐角第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角的范围是0，π2.90°0°第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°[答案]A第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[解析]∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[点评]垂线段、斜线段及其射影构成直角三角形．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2思路方法技巧第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2命题方向线面垂直的判定[例1]在平面α内有直角∠BCD，AB⊥平面α，求证：CD⊥平面ABC.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[解析]如图，AB⊥αCD⊂α⇒AB⊥CD∠BCD＝90°⇒BC⊥CDAB∩BC＝B⇒CD⊥平面ABC第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[分析]利用两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，本题可先证AC⊥平面BB1O，再证EF∥AC即可．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[解析]如图，连接AC，BD，则O为AC，BD的交点∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O.又∵EF是△ABC的中位线∴EF∥AC∴EF⊥平面BB1O∴EF⊥BB1EF⊥BO∵BO∩BB1＝B第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2命题方向线面角[例2]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[分析]求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[解析](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝22.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2(2011－2012学年枣庄高一检测)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为()第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2A.223B.23C.24D.13[答案]D第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[解析]∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角，∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴AC1＝3，∴sin∠AC1A1＝AA1AC1＝13.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2命题方向线面垂直的实际应用[例3]有一根旗杆高12m，在它的顶端处系两条长13m的绳子，拉紧绳子，并把它们的下端固定在地面上与旗杆底端不共线的两点处，测得这两点和旗杆底端相距5m，问能否由此断定旗杆与地面垂直，为什么？[分析]转化为判断旗杆所在直线是否与地面内两相交直线垂直．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[解析]如图所示，设地面为平面α，PO表示旗杆，PA，PB表示两条绳子，A，B，O三点不共线．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2∵PO＝12m，PA＝13m，OA＝5m，∴PO2＋OA2＝PA2.∴∠POA＝90°，即OP⊥OA.同理，可证OP⊥OB.又∵OA∩OB＝O，OA⊂α，OB⊂α，∴PO⊥α.故由此能断定旗杆与地面垂直．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但少[答案]C第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA＝PC，求证：AC⊥平面PBD.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[证明]设AC∩BD＝O，由题意知O为AC的中点，连接PO，因为PA＝PC，所以PO⊥AC，第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2又因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，而PO∩BD＝O，PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2探索延拓创新第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[例4]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[分析]利用线面垂直的判定定理，在面BC1D内找到两条相交直线都与A1C垂直即可．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[证明]连接AC，则AC⊥BD，又BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又BD∩BC1＝B，BD⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2规律总结：证明线面垂直的关键还是在平面内找出两条相交直线然后去证明与已知直线垂直，理论上讲目标面的任何两条相交直线都可以作为我们的目标来进行证明，应该选择比较容易证明的．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2思维拓展：通过此题结论还可得出：正方体的体对角线与不相交的面对角线垂直．第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2名师辨误做答第二章2．32．3.1成才之路·数学·人教A版·必修2[例5]如图所示，a∥b，点P在a，b所确定的平面外，PA⊥a于点A，AB⊥b于点B，求证PB⊥b.第二章2．32．3.1成才之路·数学·