浅谈数形结合的思想

1浅谈数形结合的思想摘要数形结合百般好,隔离分家万事非——这是我国著名数学家华罗庚在谈到数形结合时的精辟论断.数形结合是我国传统数学的基本思想方法之一，在数学教学历史中具有举足轻重的地位.从《九章算术》的“析理以辞，解体用图”，到现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力.数形结合是推动数学向前发展的一种比较重要手段,数学一大部分知识都是围绕其演变、发展而展开的.关键词数形结合数学思想以形助数以数辅形一、引言数形结合思想占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.我从以下几方面学习研究一下应用数形结合来提高学生的解题能力.1.数形结合的概念.2.数形结合的原则3.数形结合思想及其内涵.3.数形结合在数学中的应用由来已久.4、数形结合的途径5.数形结合在数学中的应用.“数”与“形”是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线,是数学教学的两个基本概念,两块基石.可以说大多数数学知识基本上都是围绕这两个基本概念提炼、演变.采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点.如果能将数与形巧妙地结合起来,有效地相互转化,一些看似无法入手的问题就会迎刃而解,产生事半功倍的效果.二、数形结合的概念数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通径的目的.一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题素的、优化解题过程的一种重要方法数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.2三、数形结合的原则数形结合一般遵循以下三个原则：1、等价原则等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何的转化应是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性.例题方程132sinXx的实数根的个数为（）A、3个B、5个C、7个D、9个错解图象法，作函数13yx与2sinyx的草图.由于两个函数均为奇函数，故只需要作0x的部分，又因为x8时，13x22sinx.故图形只需取[0,3]就行了（如图1）.除原点外还有一个交点，再由奇偶性知有7个交点，故选C.yyxxoo图1图2分析当18x时，13111122sin8288.因此在(0,)2内还有一个交点，所以正确的答案为D，如图2所示.2、双向性原则双向性原则是指几何形象直观的分析，进行代数计算的探索.3、简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算简洁，明了.四、数形结合思想及其内涵3“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释.具体地说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的问题，借助于“形”去观察；或将“形”的问题，借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想.事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，并利用图形的性质和规律，解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化为数量关系来解决.给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上深刻认识“形”的几何属性.五、数形结合的途径数形结合是一柄双刃的解题利剑，下面简单介绍一下数形结合的途径1、由数到形的转换途径（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题.（2）利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质.（3）构造几何模型.通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc与体积互化，将22ac与勾股定理沟通等等.（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离221212()()xxyy，点到直线的距离0022||AxByCdAB，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质.2、由形到数的转换途径（1）解析法建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系.（2）三角法将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径.（3）向量法将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题.把抽象的几何推理化为代数运算.特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循.六、数形结合的应用4数形结合思想在课本中，具有突出的地位.“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系.比如：在集合运算中的应用.涉及集合的运算，常常采用文氏图，数轴等形象、直观的方式；在研究函数时，已知函数的解析式，作出函数的图象，再通过函数的图象研究函数的性质；或通过图、表的分析，抽象出变量之间的规律，再通过变量之间的规律的研究，进一步掌握图、表的变化趋势；运用数形结合思想，构出适当的图形证明不等式和解不等式往往十分简捷.又如，笛卡儿用数形结合思想将长期对立的代数与几何有机结合，创立了数学的一大分支——解析几何，构建曲线与方程的理论，集中解决了两大问题：已知曲线求方程和通过方程研究曲线的性质.1、利用数形结合思想解决集合的问题（1）利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．例1有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：即所以1CBAn即参加数理化小组的有1人．（2）利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．5例2已知集合⑴若，求的范围.⑵若，求的范围．分析先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合A应该覆盖集合A，从而有，这时的值不可能存在．要使，当0a时集合A应该覆盖集合B，应有0331aaa成立．即10a当0a时，B，显然成立.故时2、利用数形结合思想解决方程和不等式问题（1）利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题通过的相互转化，利用函数)(xfy的图象直观解决问题．例3如果方程的两个实根在方程的两实根之间，试求与应满足的关系式．分析我们可联想对应的二次函数，的草图．这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有6公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程的两实根在方程的两实根之间，则对应的函数图像与轴的交点应在函数图像与轴的交点之内，它等价于抛物线的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标．由配方方法可知与的顶点分别为：)4,(,,2221aaaPkaaP．故求出与应满足的关系式为．（2）利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集．例4解不等式．分析我们可先联想对应的二次函数的图像．从解得知该抛物线与轴交点横坐标为-2，3，当取交点两侧的值时，即时，．即．故可得不等式的解集为：．（3）利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题7通过构造函数，把求方程解的问题，转化为两函数图像的交点问题.例5解方程分析由方程两边的表达式我们可以联想起函数，作出这两个函数的图像，这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为．例6设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况．分析我们可把这个问题转化为确定函数与图像交点个数的情况，因函数表示平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出：①当时，与没有交点，这时原方程无解;②当时，与有两个交点，原方程有两个不同的解;③当时，与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；④当时，与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；⑤当时与有两个交点，原方程不同解的个数有三个．（4）利用三角函数的图像解不等式．通过构造函数，把不等式问题转化为两个函数图像的关系问题.8例7解不等式分析从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数.在上作出它们的图像，得到四个不同的交点，横坐标分别为：，而当在区间内时，的图像都在的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：．3、利用函数图像比较函数值的大小一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较．例8试判断三个数间的大小顺序．分析这三个数我们可以看成三个函数：在时，所对应的函数值．在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置，从而可得出结论：．4、利用单位圆中的有向线段解决三角不等式问题9在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像．如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题，简便易行．例9解不等式21sinx.分析因为正弦线在单位圆中是用方向平行于轴的有向线段来表示．我们先在轴上取一点P，使，恰好表示角的正弦线，过点P作轴的平行线交单位圆于点，在内，分别对应于角，(这时所对应的正弦值恰好为21)．而要求的解集，只需将弦向上平移，使重合(也即点P向上平移至与单位圆交点处)．这样所扫过的范围即为所求的角．原不等式的解集为：．5、利用两点间距离公式或斜率公式模型构造辅助图形利用两点间距离公式或斜率公式模型构造辅助图形,找出代数问题的几何背景，简便解答某些代数综合题．例10求证：（a与c、b与d不同时相等）分析考察不等号两边特点为，其形式类同平面上两点间距离公式．在平面直角坐标系中设),(baA，)0,0(),,(odcB.10如图，22)(ABdbca22baAO，22dcBO当A、B、O三点不共线时，BOAOAB.当A、B、O三点共线，且A、B在O点同侧时，BOAOAB.当A、B、O三点共线，且A、B在O点异侧时，或A、B之一与原点O重合时，BOAOAB．综上可证.例11求函数84122xxxy的最小值．分析考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为＝令A（0，1），B（2，2），P（x，0），则问题转化为在X轴上求一点P，使｜PA｜+｜PB｜有最小值.如图，由于AB在X轴同侧，故取A关于X轴的对称点，故（｜PA｜+｜PB｜）min=．例12已知点P（x，y）在线性区域内，求（1）U＝；（2）V＝的值域分析由线性规划可