数值计算方法复习

2016计算方法复习务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：1.会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky分解的平方根法求解方程组2.会用插值基函数；会求Lagrange,会计算差商和Newton插值多项式和余项3.会Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性4.会写非线性方程根的Newton迭代格式;斯蒂芬森加速5.会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题6.会最小二乘法多项式拟合7.会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。(二)复习要求1.了解数值分析的研究对象与特点。2.了解误差来源与分类,会求有效数字;会简单误差估计。3.了解误差的定性分析及避免误差危害。（三）例题例1.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。例2.为了提高数值计算精度,当正数x充分大时,应将)1ln(2xx改写为)1ln(2xx。例3.3*x的相对误差约是*x的相对误差的1/3倍.第2章、非线性方程的数值解法(一)考核知识点对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度;迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。(二)复习要求1.了解求根问题和二分法。2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法,了解重根情形。5.了解弦截法。（三）例题1.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是()(A)11,1112kkxxxx迭代公式(B)21211,11kkxxxx迭代公式(C)3/12123)1(,1kkxxxx迭代公式(D)231xx迭代公式11221kkkkxxxx解：在(A)中,2/32)1(21)(,11)(,11xxxxxx2/3)16.1(21=1.076故迭代发散。应选择(A)。可以验证在(B)，(C)，(D)中，(x)满足1)rx，迭代收敛。2.用Newton法求方程2lnxx在区间),2(内的根,要求8110kkkxxx。解此方程在区间),2(内只有一个根s，而且在区间（2，4）内。设2ln)(xxxf则xxf11)('，2''1)(xxfNewton法迭代公式为1)ln1(/112ln1kkkkkkkkxxxxxxxx，,2,1,0k取30x，得146193221.34xs。3．设)(xf可微，求方程)(2xfx根的Newton迭代格式为)(2)(21kkkkkkxfxxfxxx4.牛顿切线法是用曲线f(x)上的点的切线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)＝0的解；而弦截法是用曲线f(x)上的；两点的连线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)＝0的解.5.试确定常数rqp,,使迭代公式5221kkkkxarxaqpxx.产生的序列{kx}收敛到3a，并使收敛阶尽量高.解因为迭代函数为522)(xarxaqpxx，而*x3a.根据定理知，要使收敛阶尽量高，应有)(**xx，0)(*x，0)(*x，由此三式即可得到rqp,,所满足的三个方程为：1rqp，052rqp，05rq.解之得，91,95rqp，且0)(3a，故迭代公式是三阶收敛的.P25.例2-4P30.例2-6P33.例2-8P35例2-10P35.例2-11第3章、线性代数方程组的数值解法(一)考核知识点高斯消去法，列主元消去法；矩阵三角分解法；平方根法；追赶法；迭代法的基本概念，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法SOR，迭代解数列收敛的条件。(二)复习要求1.了解矩阵基础知识，了解向量和矩阵的几种范数。2.掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。4.掌握直接三角分解法，平方根法，了解追赶法，了解有关结论。5.了解矩阵和方程组的性态，会求其条件数。6.了解迭代法及其收敛性的概念。7.掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。（三）例题1.分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组201814513252321321xxx解：1)Gauss消去法7224001041014321224501041014321205131825214321，回代x3=3,x2=2,x1=12)直接三角分解法(杜利脱尔分解)：2400410321153121513252321=LU解Lyb，Ux=y得x=(1,2,3)T2.用平方根法（Cholesky分解）求解方程组：7351203022323321xxx解：由系数矩阵的对称正定性，可令TLLA，其中L为下三角阵。3636333233633633231203022323求解735363363323321yyy可得316135321yyy，求解321321363633323yyyxxx可得31211321xxx3.讨论AXb的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性其中，122111(1,1,0)221TAb解：Jacobi迭代法的迭代矩阵110221()1011220JBIA则30()01JJIBBJacobi迭代收敛Gauss-Seidel迭代矩阵1102210220221101110102122104210086GSB22(44)0()2221GSIBBGauss-Seidel迭代发散.4.已知方程组Axb，其中211121112A，111b(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。解：（1）Jacobi迭代法：112312131312121212()()()()()()()()()()/()/()/kkkkkkkkkxxxxxxxxxJacobi迭代矩阵：1110221102211022()BDLU1()B收敛性不能确定（2）Gauss-Seidel迭代法：112311213111312121212()()()()()()()()()()/()/()/kkkkkkkkkxxxxxxxxxGauss-Seidel迭代矩阵：1110221104211088()GDLU5711168()iB该迭代法收敛5.给定方程组23122121xxxx，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛？解：由系数矩阵1321A可知，（1）雅可比迭代矩阵为0320032011)(110ULDB，由063220BI可知，16)(0B，因而雅可比迭代法发散。（2）高斯-塞德尔迭代矩阵为3202000201310100201301)(11ULDG，由03232022GI可知，32)(G，因而高斯-塞德尔迭代法收敛。P68.例3-3P68.例3-4P72.例3-5P76.例3-7P77.例3-8P78.例3-9P79.例3-10P88.例3-15P89.例3-16P91.例3-17P98.例3-24P110.例3-30P111.例3-31P118.例3-36第4章、插值法(一)考核知识点插值多项式，插值基函数，拉格朗日插值多项式，差商及其性质，牛顿插值多项式，差分与等距插值；分段线性插值；样条函数，三次样条插值函数。(二)复习要求1.了解插值的概念。2.掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。3.了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。4.了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。5.了解埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。6.知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。7.会三次样条插值,知道其误差和收敛性。（三）例题例1.设46)2(,16)1(,0)0(fff,则)(1xl-x(x-2)，)(xf的二次牛顿插值多项式为)1(716)(2xxxxN;例2.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则330)2()(jjjxxl=3)2(x例3.给定数据表：5,4,3,2,1i，ix12467)(ixf41011求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。解：ix)(ixf一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421-3402165612141607710611211801由差商表可得4次牛顿插值多项式为：)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)(4xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxN，插值余项为7,1),7)(6)(4)(2)(1(!5)()()5(4xxxxxfxR。例4已知函数y=f(x)的观察数据为xk－2045yk51－31试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn(x)，并计算f(－1)。解先构造基函数))(())()(())(()(xxxxxxxl))()(())())((())()(()(xxxxxxxl))(())()(()()()(xxxxxxxl)()())()(())(()()(xxxxxxxxl所求三次多项式为P3(x)=30)(kkkxly＝))((xxx＋))()((xxx－))(()(xxx＋)()(xxx＝xxxP3(－1)＝例5.已知一组观察数据为x012y12