平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析耿素兰山西平定二中（045200）平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。一、利用函数思想方法求解例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若,OCxOAyOB其中,xyR,则xy的最大值是________.分析：寻求刻画C点变化的变量，建立目标xy与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。解：设AOC，以点O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则(1,0)A，13(,)22B，(cos,sin)C。,OCxOAyOB13(cos,sin)(1,0)(,)22xy即cos23sin2yxycos3sin2sin()6xy2(0)3。因此，当3时，xy取最大值2。例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OAOBOP点Q为射线OP上的一个动点，当QAQB取最小值时，求.OQ分析：因为点Q在射线OP上，向量OQ与OP同向，故可以得到关于OQ坐标的一个关系式，再根据QAQB取最小值求.OQ解：设(2,),(0)OQxOPxxx，则(12,7),(52,1)QAxxQBxx图1122(12)(52)(7)(1)520125(2)8QAQBxxxxxxx当2x时，QAQB取最小值-8，此时(4,2).OQ二、利用向量的数量积nmnm求最值例3、ABC三边长为a、b、c，以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径，试判断P、Q在什么位置时，BPCQ有最大值。分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。解：,ABBPAPACCQAQAP222()()()BPCQAPABAPACrABACAPABACrABACAPCBABACAPCBr当且仅当AP与CB同向时，BPCQ有最大值。三、利用向量模的性质ababab求解例4：已知2,(cos,sin),abb求a的最大值与最小值。分析：注意到()aabb，考虑用向量模的性质求解。解：由条件知1b。设abc，则a=bc，cbcbcb，13a。所以当b与c同向时，a取最大值3；当b与c反向时，a取最小值1。四、利用几何意义，数形结合求解例5、如图，已知正六边形123456PPPPPP，下列向量的数量积中最大的是（A）1213PPPP（B）1214PPPP（C）1215PPPP（D）1216PPPP分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)iPPPPi的几何意义为121iPPPP等于12PP的长度与PAQBC图21图31iPP在12PP方向上的投影1121cos,iiPPPPPP的乘积。显然，由图可知，13PP在12PP方向上的投影最大，故选（A）。例6、ab与是两个夹角为1200的单位向量，且p+q=1（p、qR），则paqb的最小值是分析:如图3，设,,OAaOBbOCpaqb则(1)OCpOApOB即BCpBA因此点C在直线AB上，显然当OCAB时，paqb最小，其最小值为12。OAOAOABOAOA图4COAOA