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第一章有理数本章知识梳理思维导图1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).3.理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主).4.理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.5.能运用有理数的运算解决简单的问题.考纲要求知识梳理1.正数和负数的概念正数：比0_____的数；负数：比0_____的数；____既不是正数，也不是负数.2.有理数的概念________和________统称为有理数.3.有理数的分类(1)按有理数的意义分类(2)按正、负来分大小整数分数正整数00负整数正分数负分数0知识梳理4.数轴的概念规定了_____，_______，________的直线叫做数轴.5.相反数的概念只有______不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数.0的相反数是_____.若a，b互为相反数，则a+b=_____.6.相反数的求法求一个数的相反数，只要在它的前面添上__________即可求得(如：5的相反数是-5).原点正方向符号0单位长度0符号“-”知识梳理7.绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与______的______叫做a的绝对值，记作|a|.8.绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它______；一个负数的绝对值是它的________；0的绝对值是_____.9.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是______数，也就是说绝对值具有______性.原点距离本身相反数0非负非负知识梳理10.有理数大小的比较(1)利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的_____；(2)利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而______；异号两数比较大小，____数大于_____数.11.有理数的加法法则(1)同号两数相加，取相同的______，并把绝对值______；(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的_______，并用较大的绝对值______较小的绝对值.小小正负符号相加符号减去知识梳理12.有理数加法的运算律(1)加法交换律：a+b=b+a(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：①互为_______的两个数先相加——“相反数结合法”；②______相同的两个数先相加——“同号结合法”；③______相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到_______先相加——“凑整法”；⑤____数与___数、___数与___数相加——“同形结合法”.相反数符号分母整数整整小小知识梳理13.有理数减法法则减去一个数，等于______这个数的________.用字母表示为：a-b=a+(-b).14.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数______法则，可以将减法转化成______后，再按照______法则进行计算.15.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得______，异号得______，并把绝对值______；加上相反数减法加法加法正相乘负知识梳理法则二：任何数同0相乘，都得____；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是____数；负因数的个数是奇数时，积是____数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于____.16.有理数的乘法运算律(1)乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积_______.即ab=ba.0正负0相等知识梳理(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积_______.即(ab)c=a(bc).(3)乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积______.即a(b+c)=ab+ac17.倒数乘积是_____的两个数互为______，其中一个数叫做另一个数的倒数.注意：①0没有倒数；相加1倒数相等知识梳理②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数(求一个数的倒数，不改变这个数的性质)；④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0.18.有理数的除法法则(1)除以一个不等0的数，等于乘以这个数的____数.(2)两数相除，同号得____，异号得____，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得_____.倒正负0知识梳理19.乘方的概念求n个相同因数的_____的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做_____.在an中，a叫做____数，n叫做____数.20.乘方的性质(1)负数的奇次幂是____数，负数的偶次幂是____数；(2)正数的任何次幂都是____数，0的任何正整数次幂都是_____.积幂底指负正正0知识梳理21.做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：(1)先________，再_______，最后________；(2)同级运算，从_____到_____进行；(3)如有括号，先做_______内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行.22.科学记数法把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)，这种记数法是_____________.乘方乘除加减左右括号科学记数法考点1相反数、倒数、绝对值1.(2017广东)5的相反数是()2.(2017深圳)-2的绝对值是()3.(2017济宁)的倒数是()DBA4.若则下列不等式成立的是()A.2x-1＞0B.2x-1＜0C.2x-1≥0D.2x-1≤05.计算：=____.6.(2016绥化)的相反数的倒数是_______.7.如果m，n互为相反数，那么_______.8.若=26，则x等于______.D620062011±269.(2017白银)如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式m2015+2016n+c2017的值为_____.10.将下列各数填在相应的集合里.正有理数集合：{____________________________________…}；正分数集合：{______________________…}；09，+4.3，，18%，(-3)4，-(-2)5，+4.3，，18%，负整数集合：{______________…}；自然数集合：{___________________…}.11.已知4a-1与-(a+14)互为相反数，求a的值.-(+7)，-62，9，0，(-3)4，-(-2)5，解：由题意，得4a-1-(a+14)=0,即4a-1-a-14=0.解得a=5.12.(1)已知n为正整数，求(-1)n+(-1)n+1的值；(2)已知a,b互为相反数，c,d互为倒数,=4.求的值.解：(1)当n=2k时(k≥1且k为整数)，(-1)n+(-1)n+1=1+(-1)=0;当n=2k-1时(k≥1且k为整数)，(-1)n+(-1)n+1=-1+1=0.综上所述，n为正整数，(-1)n+(-1)n+1的值是0.(2)因为a,b互为相反数，c,d互为倒数，|x|=4，所以a+b=0，cd=1，x=±4.当x=4时，当x=-4时，综上所述，的值是3或-5.考点2数轴、有理数的大小比较、科学记数法1.(2017广州)如图M1-1，数轴上两点A,B表示的数互为相反数，则点B表示的()A.-6B.6C.0D.无法确定2.(2017株洲)如图M1-2，数轴上A所表示的数的绝对值是()A.2B.-2C.±2D.以上都不对BA3.(2017福建)若数轴上表示-1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是()A.-4B.-2C.2D.44.(2017乌鲁木齐)如图M1-3，数轴上点A表示数a，则是()A.2B.1C.-1D.-2DA5.(2017北京)实数在数轴上的对应点的位置如图M1-4所示，则正确的结论是()A.a-4B.bd0C.D.b+c06.(2017眉山)下列四个数中，比-3小的数是()A.0B.1C.-1D.-5CD7.(2017丽水)在数1，0，-1，-2中，最大的数是()A.-2B.-1C.0D.18.(2017益阳)下列四个实数中，最小的实数是()A.-2B.2C.-4D.-19.(2017咸宁)下表是我市四个景区今年2月份某天6时的气温，其中气温最低的景区是()A.潜山公园B.陆水湖C.隐水洞D.三湖连江DCC10.(2017广东)“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃，据商务部门发布的数据显示，2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过4000000000美元，将4000000000用科学记数法表示为()A.0.4×109B.0.4×1010C.4×109D.4×101011.(2017河北)把0.0813写成a×10n(1≤a＜10，n为整数)的形式，则a为()A.1B.-2C.0.813D.8.13CD12.(2017海南)海南省是中国国土面积(含海域)第一大省，其中海域面积约为2000000平方公里。数据2000000用科学记数法表示为2×10n，则n的值为()A.5B.6C.7D.813.(2017广东)已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图M1-5所示，则a+b_____0.(填“＞”“＜”或“=”)B14.把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”把各数连接起来.15.某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下表(单位：km).(1)在第______次纪录时距A地最远.(2)求收工时距A地多远？(3)若每千米耗油0.3L，每升汽油需7.2元，问检修小组工作一天需汽油费多少元？五解：(2)根据题意，列式-3+8-9+10+4-6-2=2(km).答：收工时距A地2km.(3)根据题意,得检修小组走的路程为7.2×42×0.3=90.72(元).答：检修小组工作一天需汽油费90.72元.考点3有理数的运算1.(2017山西)计算-1+2的结果是()A.-3B.-1C.1D.32.(2017滨州)计算结果为()A.-2B.2C.0D.-13.(2017河北)下列运算结果为正数的是()A.(-3)2B.-3÷2C.0×(-2017)D.2-3CBA4.(2017赤峰)等于()A.-8B.-2C.2D.85.(2017十堰)气温由-2℃上升3℃后是____℃.()A.1B.3C.5D.-56.7.定义a★b=a2-b，则(0★1)★2016=________.8.计算DA-7-20159.计算：10.11.(2017河北)在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图M1-6所示.设点A，B，C所对应数的和是p.(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p.解：(1)以B为原点，点A，C分别对应-2，1，p=-2+0+1=-1.以C为原点，p=(-1-2)+(-1)+0=-4.(2)p=(-28-1-2)+(-28-1)+(-28)=-88.12.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东记为正，向西记为负，当天的航行路程记录如下(单位：km)：14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5.(1)请你帮忙确定B地相对于A地的位置；(2)若冲锋舟每千米耗油0.5L，油箱容量为28L，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？解：(1)14-9+8-7+13-6+12-5=20（km）.答：B地在A地的东边20km.应耗油74×0.5=37(L)，故还需补充的油