大一上学期微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷cossin1.()2,()()22()()B()()DxxfxgxfxgxfxgxC1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x1nnnn20cossin1nAX(1)BXsin21CX(1)xnexxnaDa、x时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小　　Ｂ低阶无穷小　　　Ｃ等价无穷小　　　Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点　　　Ｂ可去间断点　　　Ｃ跳跃间断点　　　Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n1Xcosn200000001()5()()()()0''()0D''()'()06xfxXXoBXoCXXXXyxe、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf＇f＇f＇且ff不存在或f、曲线（　　）Ａ仅有水平渐近线　　　Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线　　　Ｄ既有铅直渐近线1~6DDBDBD一、填空题1d12lim2,,xdxaxbabｘｘ３２２１１、（　　）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１４、ｙ＝ｘ的拐点为：ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-31In1x;2322yxx;32log,(0,1),1xyRx;4(0,0)5解：原式=11(1)()1mlimlim2(1)(3)3477,6xxxxmxmxxxmba　　二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）2、0sinlimxxx在区间（，）是连续函数（）3、0f(x）=0一定为f(x)的拐点（）4、若f(X)在0x处取得极值，则必有f(x)在0x处连续不可导（）5、设函数ｆ(x)在0,1上二阶可导且'()0A'0B'(1),(1)(0),ABC()fxffCff令（），则必有1~5FFFFT三、计算题1用洛必达法则求极限2120limxxxe解：原式=222111330002(2)limlimlim12xxxxxxeexexx2若34()(10),''(0)fxxf求解：33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0fxxxxxfxxxxxxxxxxfx3240lim(cos)xxx求极限4Icos2204Icoslim022000002lim1(sin)4costancoslimcoslimlimlimlim22224nxxxnxxxxxxxxeexInxxxxInxxxxxxe解：原式=原式4531(31)2xyxx求的导数53511I31123221531111'33121221511'(31)2312(1)2(2)nyInxInxInxyyxxxxyxxxxx解：53tanxdx2222tantansec1)tansectantansintantancos1tantancoscos1tancos2xxdxxxdxxxdxxdxxxdxdxxxdxdxxxInxc解：原式=（　　　　=　　　　=　　　　=　　　　=6arctanxxdx求22222222211arctan()(arctanarctan)22111(arctan)2111arctan(1)211arctan22xdxxxxdxxxxdxxxxdxxxxxc解：原式=　　　　=　　　　=　　　　=四、证明题。1、证明方程310xx有且仅有一正实根。证明：设3()1fxxx1221222212222(0)10,(1)10,()0,10,1),'(0()01)()00()00,,(),,()()0,()0'()31fffxffxfxfxxxxfxxxxxfxfxxxff且在上连续至少存在（使得）即在（，内至少有一根，即在（，）内至少有一实根假设在（，）有两不同实根x在上连续，在（）内可导且至少（），st而3110xx与假设相矛盾方程有且只有一个正实根2、arcsinarccos1x12xx证明（）22()arcsinarccos11'()0,1,111()(0)arcsin0arccos02(1)arcsin1arccos12(1)arcsin(1)arccos(1)2()arcsinarccos1,12fxxxfxxxxfxcffffxxxx证明：设综上所述，，五、应用题1、描绘下列函数的图形21yxx32233.Dy=(-,0)(0,+)1212.y'=2x-1'022''2''0,1xxxyxyxyx解：1令得令得3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)222250lim(),()0xfxfxx有铅直渐近线6如图所示：2.讨论函数22()fxxInx的单调区间并求极值12()22(1)(1)'()2(0)'()0,1,1DfxRxxfxxxxxfxxx解：令得由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)和单调递增区间为(1,0)1和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1