抛物线经典性质总结

1抛物线抛物线)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。{MFM=点M到直线l的距离}范围0,xyR0,xyR,0xRy,0xRy对称性关于x轴对称关于y轴对称焦点(2p,0)(2p,0)(0,2p)(0,2p)焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率e=1准线方程2px2px2py2py准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2p焦点到准线的距离p焦半径11(,)Axy12pAFx12pAFx12pAFy12pAFyxyOlFxyOlFlFxyOxyOlF2焦点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp焦点弦AB的几条性质11(,)Axy22(,)Bxy以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为，则22sinpAB若AB的倾斜角为，则22cospAB2124pxx212yyp112AFBFABAFBFAFBFAFBFp切线方程00()yypxx00()yypxx00()xxpyy00()xxpyy1.直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线l与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）（4）2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：bkxy抛物线，)0(p①联立方程法：ox22,BxyFy11,Axy3pxybkxy220)(2222bxpkbxk设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)())((bxxkbxxkbkxbkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak21或2122122124)(1111yyyykyykABak21b.中点),(00yxM,2210xxx，2210yyy②点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得1212pxy2222pxy将两式相减，可得)(2))((212121xxpyyyy2121212yypxxyya.在涉及斜率问题时，212yypkABb.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy，即0ypkAB，同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点，点4),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）一、抛物线的定义及其应用例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．例2、(2011·山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．8例4、过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝9xC．y2＝92xD．y2＝3x5三、抛物线的综合问题例5、(2011·江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．例6、(2011·湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－12x＋b与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．6练习题1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于()A．1B．4C．8D．162．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A．－1716B．－1516C.716D.15163．(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B．1C.54D.744．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定5．(2012·宜宾检测)已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于()A．42B．8C．82D．166．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(－2,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(－1,2)7．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x8．(2012·永州模拟)以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．10．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA|＋|FB|＝________.711．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于________12．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．13．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OM与OP的夹角为π4，求△POM的面积．8参考答案：一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已知只要|FM|4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋24，解得y02，故y0的取值范围是(2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A(x1，y1)，其中y10.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有|BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝|BB1||BC|＝12，∠CBB1＝π3.即直线AB与x轴的夹角为π3.又|AF|＝|AK|＝x1＋p2＝4，因此y1＝4sinπ3＝23，因此△AKF的面积等于12|AK|·y1＝12×4×23＝43.例4．分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝12|AA1|＝32，故抛物线的方程为y2＝3x.三、抛物线的综合问题例5、(1)直线AB的方程是y＝22(x－p2)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝5p4，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.9(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；设OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2.例6、(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有x－12＋y2－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x0)．(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由y＝kx－1y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.(7分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1.(8分)因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－1k.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)·(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1(11分)＝1＋(2＋4k2)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4(k2＋1k2)≥8＋4×2k2·1k2＝16.当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，AD·EB取最小值16.例7、(1)抛物线y2＝2px(p0)的准线为x＝－p2，由抛物线定义和已知条件可知|MF|＝1－(－p2)＝1＋p2＝2，解得p＝2,故所求抛物线C的方程为y2＝4x.(2)联立y＝－12x＋b，y2＝4x消去x并化简整理得y2＋8y－8b＝0.依题意应有Δ＝64＋32b0，解得b－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y210＝－8，y1y2＝－8b，设圆心Q(x0，y0)，则应用x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22＝－4.因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r＝|y0|＝4.又|AB|＝x1－x22y1－y22＝1＋4y1－y22＝5[y1＋y22－4y1y2]＝564＋32b所以|AB|＝2r＝564＋32b＝8，解得b＝－85.所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝485，则圆心Q