抛物线的几何性质

今天努力一点，明天幸福一点抛物线一、抛物线22(0)ypxp的简单几何性质1、范围：因为0p，由方程22ypx可知，这条抛物线上任意一点M的坐标,xy满足不等式0x，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y代y，方程22(0)ypxp不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)ypxp中，当0y时，0x，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e表示.按照抛物线的定义，1e知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,MM，线段12MM叫作抛物线的通径，将02px代入22ypx得yp，故抛物线22ypx的通径长为2p例1、已知点,Mxy在抛物线28yx上，则22,129fxyxyx的取值范围？分析：本题的实质是将,fxy转化为关于x的二次函数，求二次函数在区间0,上的最值.22,812925fxyxxxx，又0,x，所以当0x时，,fxy取得最小值9，当0,x时，2,25fxyx，无最大值.故22,129fxyxyx的取值范围为9,答案：9,今天努力一点，明天幸福一点二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图像范围x轴x轴y轴y轴对称轴0,xyR0,xyR0,yxR0,yxR焦点坐标(0)2p，(0)2p，(0)2p，(0)2p，准线方程2px2px2py2py顶点坐标0,0O离心率1e通径长2p知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为0,0O，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形；②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e，双曲线离心率的取值范围是1e，抛物线的离心率是1e；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线FlOyxFlOyxOlFyxOlFyx今天努力一点，明天幸福一点例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144xy的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为3,0，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p后可得方程.答案：解：由22169144xy得：221169yx，所以椭圆的左顶点为3,0.由题意设所求抛物线的标准方程为220ypxp，由32p，得6p，故所求抛物线的标准方程为212yx.三、焦点弦问题及其应用1、焦点弦如图，AB是抛物线220ypxp过焦点F的一条弦.设点1122,,,AxyBxy，线段AB的中点为00,Mxy，过,,ABM分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,ABM，则根据抛物线的定义有11AFBFAABB.又1MM是梯形11AABB的中位线，1112ABAABBMM.综上可得以下结论：①121212,,2222ppppAFxBFxABxxxxp，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022pABx（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB的倾斜角为，则22sinpAB推导：12ABAFBFxxp由④的推导知，当AB不垂直于x轴时，1220pyykk今天努力一点，明天幸福一点1212122222yyyypppxxppkkkk222212212tansinppABppk当k不存在时，即90时，22sinpAB亦成立④AB、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124pxx，212yyp分析：利用点斜式写出直线AB的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况.推导：焦点F的坐标为,02p，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：02pykxk，由222pykxypx，得：2220kypykp2224212212121222,22444yyyyppyypxxpppp当AB垂直于x轴时，直线AB的方程为：2px则222212121212,,224yypypypyypxxpp⑤11AFBF为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22ppAFxBFx12212121211112224xxpppppAFBFxxxxxx又21212,4pxxxxABp，代入上式得：22112424ABpppAFBFpABp为常数故11AFBF为定值2p.今天努力一点，明天幸福一点2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线220ypxp中，设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则AMFBMF（3）设AB为抛物线的焦点弦.①点AB、在准线上的射影分别为点11AB、，若P为11AB的中点，则PAPB；②O为抛物线的顶点，若AO的延长线交准线于点C，连接BC，则BC平行于x轴，反之，若过点B作平行于x轴的直线交准线于点C，则,,AOC三点共线.（4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为220ypxp，则焦点F的坐标为,02p，直线l的方程为2pyx.设直线l与抛物线的交点为1122,,,AxyBxy，过点,AB分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11AB、，则有：111212+=622ppABAFBFAABBxxxxp，由222pyxypx，消去y，得222pxpx，即22304pxpx123xxp，代入①式得：336,2ppp所求抛物线的标准方程为23yx当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23yx例4、已知抛物线220ypxp的焦点为F，点111222333,,,PxyPxyPxy、、在抛物线上，且2132xxx，则有（）123.AFPFPFP222123.BFPFPFP213.2CFPFPFP2213.DFPFPFP今天努力一点，明天幸福一点解析：123PPP、、在抛物线上，且2132xxx，两边同时加上p，得2132()222pppxxx即2132FPFPFP答案：C例5、过抛物线24yx的焦点作直线交抛物线于1122,,,AxyBxy两点，如果126xx，那么AB?解析：由抛物线定义，得12628ABAFBFxxp