微积分期末试卷及答案

2005级《高等数学B(一)》试卷AA卷第1页共8页中南民族大学试卷院系:班级:学生:学号:(A)一、填空题(每小题3分,共15分)1、已知2)(xexf,xxf1)]([,且0)(x,则)(x.答案：)1ln(x王丽君解：xeufu1)(2,)1ln(2xu,)1ln(xu.2、已知a为常数,1)12(lim2axxxx,则a.答案：1孙仁斌解：axbaxaxxxxxxxx1)11(lim)11(1lim1lim022.3、已知2)1(f,则xxfxfx)1()31(lim0.答案：4俞诗秋中南民族大学试卷院系:班级:学生:学号:成绩:试卷名称:2005-2006学年度上学期期末考试《高等数学B(一)》试卷(A卷共8页)适用范围:经院、管院2005级各专业本科学生(A)2005级《高等数学B(一)》试卷AA卷第2页共8页注意事项:1.严禁使用草稿纸，草稿可在试卷背面书写，试卷不得拆开、撕角；2.将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3.认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。(A)解：4)]1()1([)]1()31([lim0xfxffxfx4、函数)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的拐点数为.答案：2俞诗秋解：)(xf有3个零点321,,:4321321,)(xf有2个零点21,:4132211,))((12)(21xxxf,显然)(xf符号是：＋,－,＋,故有2个拐点.5、xxdx22cossin.答案：Cxxcottan张军好解：Cxxxdxxdxdxxxxxxxdxcottansincoscossinsincoscossin22222222.二、选择题(每小题3分,共15分)答案：1、2、3、4、5、。1、设)(xf为偶函数,)(x为奇函数,且)]([xf有意义,则)]([xf是(A)偶函数；(B)奇函数；(C)非奇非偶函数；(D)可能奇函数也可能偶函数.答案：A王丽君2005级《高等数学B(一)》试卷AA卷第3页共8页中南民族大学试卷院系:班级:学生:学号:(A)2、0x是函数.0,0,0,cos1)(2xxxxxf的(A)跳跃间断点；(B)连续点；(C)振荡间断点；(D)可去间断点.答案：D俞诗秋3、若函数)(xf在0x处不可导，则下列说法正确的是(A))(xf在0x处一定不连续；(B))(xf在0x处一定不可微；(C))(xf在0x处的左极限与右极限必有一个不存在；(D))(xf在0x处的左导数与右导数必有一个不存在.答案：B江美英4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A))()(QCQR；(B))()(QCQR；(C))()(QCQR；(D))()(QCQR.答案：D俞诗秋5、若函数)(xf存在原函数,下列错误的等式是：(A))()(xfdxxfdxd；(B))()(xfdxxf；2005级《高等数学B(一)》试卷AA卷第4页共8页注意事项:1.严禁使用草稿纸，草稿可在试卷背面书写，试卷不得拆开、撕角；2.将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3.认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。(A)(C)dxxfdxxfd)()(；(D)Cxfxdf)()(.答案：B俞诗秋三、计算题(每小题6分,共60分)1、设xxfxx422)2(,求)2(xf.答案：42)2(42xxfxx王丽君,俞诗秋解：令2xt,则2222)2(2)(48444)2(4)2(222ttttftttttt,(3分)于是42422)2(2)2(44444)2(222xxxxfxxxxx.(6分)2、计算)1cos(limnnn.答案：1俞诗秋解：nnnnnn11coslim)1cos(lim(3分)11010cos1111coslimnnn.(6分)3、求极限)21(lim222nnnnnnnn.答案：1俞诗秋解：由于1)21(2222222nnnnnnnnnnnn，(3分)2005级《高等数学B(一)》试卷AA卷第5页共8页中南民族大学试卷院系:班级:学生:学号:(A)而1111limlim22nnnnnn,1111lim1lim222nnnnn,所以1)21(lim222nnnnnnnn.(6分)4、求极限xxxxcossec)1ln(lim20.答案：1俞诗秋解：xxxxxxxxxxxxxxcossin212limsin)1ln(limcoslimcossec)1ln(lim20220020(4分)1sinlimcos)1(1lim020xxxxxx.(6分)5、求函数xxy1sin的导数.答案：)1sin1ln1cos1(21sinxxxxxxyx俞诗秋解：)(ln1sinxxey(2分)]1sin1ln)1(1[cos2ln1sinxxxxxexx)1sin1ln1cos1(21sinxxxxxxx.(6分)6、求曲线12lnxyyx在点)1,1(处的法线方程.答案：02yx江美英,俞诗秋解：方程两边对x求导得：02lnyyyxy,2005级《高等数学B(一)》试卷AA卷第6页共8页注意事项:1.严禁使用草稿纸，草稿可在试卷背面书写，试卷不得拆开、撕角；2.将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3.认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。(A)将)1,1(),(yx代入得法线斜率1)1(1yk,(3分)从而法线方程为：)1(11xy,即：02yx.(6分)7、求曲线12134xxy的凹凸区间和拐点.答案：曲线在区间]0,(和),1[是凹的,在区间]1,0[是凸的．拐点为)1,0(,)34,1(．俞诗秋解：(1)),()(Cxf,(2)2332)(xxxf,)1(666)(2xxxxxf,(3)0)(xf,得01x,12x.1)0(f,34)1(f．(3分)(4)列表如下：x)0,(0)1,0(1),1()(xf+0-0+)(xf凹拐点凸拐点凹(5)曲线的拐点为)1,0(、)34,1(．(6)曲线在区间]0,(和),1[是凹的,在区间]1,0[是凸的．(6分)8、计算xxdx)1(3．答案：Cxx66arctan66俞诗秋解：)1(6])(1[)()1(2352636366ttdttxxdxxxdxxttx(3分)2005级《高等数学B(一)》试卷AA卷第7页共8页中南民族大学试卷院系:班级:学生:学号:(A)22216611)1(6tdtdtdttt．CxxCtt66arctan66arctan66．(6分)9、计算xdxex2sin．答案：Cxxex)2cos2sin21(104俞诗秋解：xdxexexdexdxexxxx2cos212cos212cos212sin(3分)xdxexexexdexexxxxx2sin412sin412cos212sin412cos21,Cxxexdxexx)2cos2sin21(1042cos．(6分)10、设某商品的需求函数为PQ5100,其中QP,分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.答案：1)10(,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1.俞诗秋解：总收益函数为25100)5100()(PPPPPQPR,令010100)(PPR,得3P,而05)10(R,可见,当10P时,总收益达到最大.(3分)此时需求弹性151005)10(1010PPPPdPdQQP,(5分)说明,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1.(6分)2005级《高等数学B(一)》试卷AA卷第8页共8页注意事项:1.严禁使用草稿纸，草稿可在试卷背面书写，试卷不得拆开、撕角；2.将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3.认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。(A)四、证明题(每小题5分,共10分)1、证明方程1xxe在区间)1,0(内有且只有一个实根.孙仁斌,俞诗秋证明：显然]1,0[1)(Cxexfx,由于01)0(f,01)1(ef,由零点定理知,)1,0(..ts0)(f,即1e；(3分)又因0)1()(xexxf,)1,0(x,知]1,0[)(xf,所以方程1xxe在区间)1,0(内有且只有一个实根.(5分)2、设)(xf在闭区间]2,1[连续,在开区间)2,1(可导,且)1(8)2(ff,证明在)2,1(内必存在一点,使得)()(3ff.俞诗秋证明:令3)()(xxfxF,623)(3)()(xxfxxfxxF,显然]2,1[)(CxF,)2,1()(DxF,且)2(8)2()1()1(FffF,由罗尔定理知：)2,1(,..ts0)(F,所以)()(3ff.