考点39+双曲线-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过

（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.（3）了解双曲线的简单应用.（4）理解数形结合的思想.一、双曲线的定义和标准方程1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MFMFaaFF.（3）当122MFMFa时，曲线仅表示焦点2F所对应的双曲线的一支；当122MFMFa时，曲线仅表示焦点1F所对应的双曲线的一支；当12||2aFF时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；当12||2aFF时，动点轨迹不存在．2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为22221xyab(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，且222cab，如图1所示；（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为22221yxab(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(0，－c)，F2(0，c)，焦距为2c，且222cab，如图2所示．图1图2注：双曲线方程中a，b的大小关系是不确定的，但必有c＞a＞0，c＞b＞0．3．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b.（2）与双曲线22221xyab(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0,0,0)xyabab．（3）若双曲线的渐近线方程为nyxm，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)xymnmn或2222(0,0,0)mnxmyn．（4）与双曲线22221xyab(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,xyabakbk22)bka．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为2210mxnymn．（6）与椭圆22221xyab(ab0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,xyabab22)ba．二、双曲线的几何性质1．双曲线的几何性质标准方程22221xyab(a＞0，b＞0)22221yxab(a＞0，b＞0)图形范围||xa，yR||ya，xR对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点焦点左焦点F1(－c，0)，右焦点F2(c，0)下焦点F1(0，－c)，上焦点F2(0，c)顶点12(,0),(,0)AaAa12(0,),(0,)AaAa轴线段A1A2是双曲线的实轴，线段B1B2是双曲线的虚轴；实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b渐近线byxaayxb离心率e22cceaa(1)e2．等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为22(0)xy；（2）渐近线方程为yx，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e2．考向一双曲线的定义和标准方程1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a、b、c的关系易错易混.典例1已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=A．14B．35C．34D．45【答案】C∴cos∠F1PF2=222121212||||2PFPFFFPFPF=328163424222.典例2已知F为双曲线的左焦点，为上的点．若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________．【答案】44【解析】易知双曲线的左焦点为，点是双曲线的右焦点，虚轴长为，双曲线的图象如图：1．若双曲线22412xy=1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|+|PA|的最小值是________.考向二求双曲线的方程求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,ab的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)AxByAB.典例3已知双曲线与双曲线的焦点重合，的方程为，若的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍，则的方程为__________________.【答案】2213yx典例4如图,已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.2．已知12,FF分别是双曲线E：22221xyab(0,0)ab的左、右焦点，P是双曲线上一点，2F到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当1260FPF时，12PFF△的面积为483，求此双曲线的方程.考向三双曲线的渐近线对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a,b的关系，结合已知条件可解.典例5已知12,FF分别是双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的左、右焦点，1F的坐标为7,0，若双曲线的右支上有一点P，且满足124PFPF，则该双曲线的渐近线方程为A．32yxB．232yxC．34yxD．43yx【答案】A典例6如图,已知F1、F2分别为双曲线C:22221(0,0)xyabab的左、右焦点,P为第一象限内一点,且满足|F2P|=a,(+)·=0,线段F2P与双曲线C交于点Q,若|F2P|=5|F2Q|,则双曲线C的渐近线方程为A．y=±55xB．y=±12xC．y=±32xD．y=±33x【答案】B3．已知双曲线：22221(0,0)xyabab，过左焦点的直线切圆于点，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．12yxD．32yx考向四双曲线的离心率1.求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找,ac满足的等式或不等式，一般利用双曲线中abc，，的关系222cab将双曲线的离心率公式变形，即2222111cbeaabc，注意区分双曲线中abc，，的关系与椭圆中abc，，的关系，在椭圆中222abc，而在双曲线中222cab.（2）根据条件列含,ac的齐次方程，利用双曲线的离心率公式cea转化为含e或2e的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e,对解进行取舍.2.求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合222cab和cea，得到关于e的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围1()e,，椭圆离心率的范围)1(0e，.另外，在建立关于e的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.典例7设F1、F2分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率等于A．52B．102C．152D．5【答案】B【解析】由121223AFAFaAFAF⇒,由∠F1AF2=90°,得2221212AFAFFF,即(3a)2+a2=(2c)2,得e=102,选B.典例8已知F1、F2分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P，使得221||PFPF=8a,则双曲线的离心率的取值范围是.【答案】(1,3]4．已知点P为双曲线22221(0,0)xyabab右支上一点，点12,FF分别为双曲线的左、右焦点，点I是12PFF△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPFIPFIFFSSS△△△成立，则双曲线离心率的取值范围是A．1,2B．1,2C．0,3D．1,35．已知1F、2F分别是双曲线222210,0xyabab的左、右焦点，点P在双曲线上，若120PFPF，12PFF△的面积为9，且7ab，则该双曲线的离心率为______________.1．在平面直角坐标系中,F1(-2,0),F2(2,0),动点P满足||PF1|-|PF2||=3,则动点P的集合是A．两条射线B．以F1,F2为焦点的双曲线C．以F1,F2为焦点的双曲线的一支D．不存在2．方程22123xymm表示双曲线的一个充分不必要条件是A．B．C．D．3．双曲线2213yx的渐近线方程为A．B．C．13yxD．33yx4．已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为A．B．C．D．5．若双曲线2221016xyaa的离心率为53，则该双曲线的焦距为A．10B．6C．8D．56．已知点12,FF分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足21212,120PFFFFFP，则双曲线的离心率为A．312B．512C．3D．57．设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．8．设、分别是双曲线C：的左、右焦点，点在双曲线C的右支上，且，则A．B．C．D．9．已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A．221xyB．22122xyC．22144xyD．22188xy10．已知方程221xyab和1xyab(其中ab≠0且a≠b),则它们所表示的曲线可能是11．设，是离心率为5的双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于A．B．C．24D．4812．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为A．B．C．D．13．已知O是坐标原点，双曲线221(1)xyaa与椭圆221(1)2xyaa的一个交点为P，点，则的面积为A．B．C．D．14．过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．15．设分别是双曲线的左、右焦点，为左顶点，点为双曲线右支上一点，，，，为坐标原点，则__________．16．已知离心率52e的双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点.若AOF△的面积为1，则实数的值为___________.17．已知点12,FF分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左，右焦点，过1F且垂直于x轴的直线与双曲线交于,AB两点，若2ABF△是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________________．18．已知是双曲线22:14yCx的右焦点,的右支上一点到一条渐近线的距离为2,在另一条渐近线上有一点满足,则___________.19．若双曲线22221xyab的离心率为，双曲线22221xyba的离心率为，则的最小值为___________.20．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为