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2015年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•泰安一模）已知集合M={2，m}，N={1，2，3}，则“m=3”是“M⊆N”的（）A．充分而不必条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据集合关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：若M⊆N，则m=1或m=3，则“m=3”是“M⊆N”的充分不必要条件，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合的基本关系是解决本题的关键．2．（5分）（2015•泰安一模）已知i是虚数单位，a，b∈R，a+bi=，则a+b等于（）A．﹣1B．1C．3D．4【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式乘除运算化简，然后由复数相等的条件求得a，b，则a+b的值可求．【解析】：解：由a+bi==，得：a=1，b=2．∴a+b=3．故选：C．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．（5分）（2015•泰安一模）已知命题p：∃x0∈R，cosx0≤，则¬p是（）A．∃x0∈R，cosx0≥B．∃x0∈R，cosx0＞C．∀x∈R，cosx≥D．∀x∈R，cosx＞【考点】：命题的否定．【专题】：简易逻辑．【分析】：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解析】：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，cosx0≤，则¬p是∀x∈R，cosx＞．故选：D．【点评】：本题考查特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查，注意格式与量词的变化．4．（5分）（2015•泰安一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=﹣11，a5+a9=﹣2，则当Sn取最小值时，n等于（）A．9B．8C．7D．6【考点】：等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由已知求出等差数列的首项和公差，写出通项公式，由通项小于等于0求得n的值得答案．【解析】：解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由a2=﹣11，a5+a9=﹣2，得，解得：．∴an=﹣15+2n．由an=﹣15+2n≤0，解得：．∴当Sn取最小值时，n等于7．故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5．（5分）（2015•泰安一模）根据如下样本数据x34567y4.02.5﹣0.50.5﹣2.0得到的回归方程为．若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位【考点】：线性回归方程．【专题】：概率与统计．【分析】：首先，根据所给数据，计算样本中心点（5，0.9），然后，将改点代人回归方程，得到b=﹣1.4，从而得到答案．【解析】：解：设变量x，y的平均值为：，，∴==5，=0.9，∴样本中心点（5，0.9），∴0.9=5×b+7.9∴b=﹣1.4，∴x每增加1个单位，y就减少1.4．故选：B．【点评】：本题重点考查了回归直线方程的特征、回归直线方程中回归系数的意义等知识，属于中档题．6．（5分）（2015•泰安一模）已知O是坐标原点，点A（﹣2，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A．[0，1]B．[0，2]C．[﹣1，0]D．[﹣1，2]【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，设z=，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=，∵A（﹣2，1），M（x，y），∴z==﹣2x+y，即y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当y=2x+z，经过点A（1，1）时，直线截距最小，此时z最小为z=﹣2+1=﹣1．经过点B（0，2）时，直线截距最大，此时z最大．此时z=2，即﹣1≤z≤2，故选：D．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的坐标公式求出z的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015•泰安一模）已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m，n），则α的值为（）A．﹣1B．C．2D．3【考点】：基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由基本不等式易得m=且n=时取到最小值，可得=，解方程可得．【解析】：解：∵正实数m，n是满足m+n=1，∴=（）（m+n）=10++≥10+2=16，当且仅当=即m=且n=时取到最小值，∴曲线y=xα过点P（，），∴=，解得α=故选：B【点评】：本题考查基本不等式求最值，涉及幂函数的运算，属基础题．8．（5分）（2015•泰安一模）已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，∀x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求k的范围，区间的长度之比等于要求的概率．【解析】：解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，∵﹣2≤k≤2，其区间长度是4，又∵对∀x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调，∴，∴﹣2≤k≤1，其区间长度为3，∴P=，故选：D．【点评】：本题主要考查了几何概型，以及一次函数的性质，概率题目的考查中，概率只是一个载体，其他内容占的比重较大，属于基础题．9．（5分）（2015•泰安一模）如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解析】：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．【点评】：本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．10．（5分）（2015•泰安一模）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当﹣6，若在区间（﹣2，6]内关于x的f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．D．【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据指数函数的图象可画出：当﹣6的图象．根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再根据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），画出[2，6]的图象．画出函数y=loga（x+2）（a＞1）的图象．利用在区间（﹣2，6]内关于x的f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，即可得出．【解析】：解：如图所示，当﹣6，可得图象．根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再根据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），画出[2，6]的图象．画出函数y=loga（x+2）（a＞1）的图象．∵在区间（﹣2，6]内关于x的f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，∴loga8＞3，loga4＜3，∴4＜a3＜8，解得＜a＜2．故选：D．【点评】：本题考查了指数函数的图象与性质、函数的奇偶性、周期性，考查了方程的实数根转化为函数图象的交点个数，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11．（5分）（2015•泰安一模）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=﹣1．【考点】：同角三角函数间的基本关系．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α﹣）的值为1，由α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，即可求出tanα的值．【解析】：解：∵sinα﹣cosα=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=1，∵α∈（0，π），∴α﹣=，即α=，则tanα=﹣1．【点评】：此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．12．（5分）（2009•广东）若平面向量，满足，平行于x轴，，则=（﹣1，1）或（﹣3，1）．【考点】：平行向量与共线向量．【专题】：平面向量及应用．【分析】：与x平行的单位向量有（1，0）和（﹣1，0），根据向量加法的坐标运算公式，构造方程组，解方程组即可求解．【解析】：解：∵，平行于x轴，∴或（﹣1，0），则，或故答案为：（﹣1，1）或（﹣3，1）【点评】：求向量的一般方法是：根据已知条件，结合向量加法的坐标运算公式，构造方程组，解方程组即可求解．13．（5分）（2015•泰安一模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线垂直于直线l：x﹣2y﹣5=0，双曲线的一个焦点在l上，则双曲线的方程为=1．【考点】：双曲线的标准方程．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线垂直于直线l：x﹣2y﹣5=0，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解析】：解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=5，即焦点坐标为（5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线垂直于直线l：x﹣2y﹣5=0，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为=1．故答案为：=1．【点评】：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）（2015•泰安一模）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为10，则输出s的值为40．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i，k的值，当i=11时，不满足条件i＜10，退出循环，输出s的值．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得n=10，i=2，k=1，s=3满足条件i＜10，s=6，i=5，k=2满足条件i＜10，s=15，i=8，k=3满足条件i＜10，s=40，i=11，k=4不满足条件i＜10，退出循环，输出s的值为40．故答案为：40．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的s，i，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．15．（5分）（2015•泰安一模）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出．【解析】：解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，∵=，∴=，∵它们的侧面积相等，∴=1，∴=，∴==（）2×=．故答案为：．【点评】：本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答