《数学分析III》期中考试试题及参考答案

第1页共13页数学分析下册期末试题（模拟）一、填空题（每小题3分，共24分）1、重极限2222(,)(0,0)lim11xyxyxy___________________2、设(,,)xyzuxyze，则全微分du_______________________3、设(sin,)xzfxyye，则zx___________________4、设L是以原点为中心，a为半径的上半圆周，则22()Lxyds________.5、曲面222239xyz和2223zxy所截出的曲线在点(1,1,2)处的法平面方程是___________________________.6、已知12，则32_____________.7、改变累次积分的顺序，21200(,)xdxfxydy______________________.8、第二型曲面积分Sxdydzydzdxzdxdy______________，其中S为球面2221xyz，取外侧.二、单项选择题（每小题2分，共16分）1、下列平面点集，不是区域的是（）（A）22{(,)14}Dxyxy（B）{(,)01,22}Dxyxy（C）{(,)01,1}Dxyxyx（D）{(,)0}Dxyxy2、下列论断，正确的是（）（A）函数(,)fxy在点00(,)xy处的两个累次极限都不存在，则该函数在00(,)xy处重极限必定不存在.得分评卷人第2页共13页（B）函数(,)fxy在点00(,)xy处的两个累次极限都存在且相等，则该函数在00(,)xy处重极限必定存在.（C）函数(,)fxy在点00(,)xy处的偏导数都存在，则该函数在00(,)xy处可微.（D）函数(,)fxy在点00(,)xy处可微，则该函数在00(,)xy处必定连续.3、方程3230xyzxyz在原点附近能确定连续可微的隐函数形式是（）(A)(,)xxyz(B)(,)yyxz(C)(,)zzxy(D)以上选项都不对.4、设arctan2zuvt，其中2tue，lnvt，则1tdzdt等于（）（A）225e（B）225e（C）225e（D）252e5、设平面曲线L：()yfx在[,]ab上具有一阶连续偏导数，且点A与B的坐标分别为(,())afa与(,())bfb，又设(,)Pxy和(,)Qxy为L上的连续函数，则沿L从B到A的第二型曲线积分(,)(,)LPxydxQxydy等于（）（A）(,())(,())()baPxfxQxfxfxdx（B）(,())(,())()abPxfxQxfxfxdx（C）(,())(,())()baPxfxQxfxfxdx（D）(,())()(,())abPxfxfxQxfxdx6、变换T：xuuv，yuv所对应的函数行列式(,)Juv为（）(A)2u(B)2v(C)u(D)v7、对于任意光滑封闭曲线L中，以下第二型曲线积分中为零的是（）（A）(sin)yLxydxxedy（B）2()2Lxydxxydy（C）sin()cos()Lxydxxydy（D）22Lxdyydxxy考生答题不得过此线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶任课教师：教学班号：姓名：学号：∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶装∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶考生答题不得过此线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶任课教师：教学班号：姓名：学号：∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶装∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶第3页共13页8、下列积分区域D中，既是x型又是y型的是（）(A)D是由直线0x，yx和1yx所围成的闭区域.(B)D是由直线yx和曲线2yx所围成的闭区域.(C)D是由直线1x，2x和4yx所围成的闭区域.(D)D是由直线yx，0y和曲线21yx所围成的闭区域.三、计算题（每小题8分，共48分）1、讨论函数2222220(,)00xyxyxyfxyxy在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)xf和(0,0)yf.2、设,yzfxyx，求2zxy得分评卷人第4页共13页3、设方程组22xuyuyvxu确定了隐函数组(,)(,)uuxyvvxy，求vx和vy4、利用含参量积分计算10lnxxdxx，其中0.考生答题不得过此线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶任课教师：教学班号：姓名：学号：∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶装∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶第5页共13页5、计算22Lxydxxydy，其中L是以R为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A到最下面一点B.第6页共13页6、利用极坐标变换计算22Dydxdyx，其中D是由圆222xyx(0)y与x轴所围成的平面区域.四、应用题（每小题6分，共12分）1、求由球面2224xyz与抛物面223xyz所围成的区域的体积.得分评卷人考生答题不得过此线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶任课教师：教学班号：姓名：学号：∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶装∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶第7页共13页2、某工厂打算建造一个容积为25003m长方体仓库，其中仓库顶的造价为200元/2m，仓库底面造价为300元/2m，仓库四周造价为100元/2m，问如何设计可以使仓库的建造成本最小.参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共24分）第8页共13页1、22、()xyzedxzdyydz3、12sinxfyfe4、3a5、8(1)10(1)7(2)0xyz（即8107120xyz）6、437、2102(,)ydyfxydx8、4二、单项选择题（每小题2分，共16分）题号12345678答案DDCABCBB三、计算题（每小题8分，共48分）1、讨论函数2222220(,)00xyxyxyfxyxy在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)xf和(0,0)yf.解首先考虑(,)(0,0)lim(,)xyfxy，当点(,)xy沿直线ykx趋于(0,0)时，则有………………（2分）2222(,)(0,0)00lim(,)lim(,)lim1xyxxykxxkxkfxyfxkxxkxk由此可见，该极限值随k的变化而变化，故此极限不存在，从而函数(,)fxy在原点不连续.…………（4分）由偏导数的定义，00(0,0)(0,0)0(0,0)limlim0xxxfxffxx…………（6分）第9页共13页00(0,0)(0,0)0(0,0)limlim0yxxfyffyy…………（8分）2、设,yzfxyx，求2zxy.解记uxy，yvx，1ffu，2ffv，则由复合函数链式法则，122zzuzvyffxuxvxx.…………………（2分）再记2112ffu，212ffuv，2222ffv，……2122zzyffxyyxyx…………………（3分）11222221ffffuvyuvfuyvyxuyvyx……………（6分）11122122222111yfffffxxxx…………………（7分）11122222321xyyffffxxx…………………（8分）3、设方程组22xuyuyvxu确定了隐函数组(,)(,)uuxyvvxy，求vx和vy.解方程组关于x求偏导数得第10页共13页122xxxxuuyuvvuxu…………………（3分）解此方程组得，122vxuxvuy………………（4分）方程组关于y求偏导数得212yyyyuuuyuvvxu…………………（7分）解此方程组得，1122vxuyvuy.…………（8分）4、利用含参量积分计算10lnxxdxx，其中0.解因为lnyxxxdyx，所以…………………………（2分）1100lnyxxdxdxxdyx.由于被积函数(,)yfxyx在[0,1][,]上连续，………………………（4分）故由含参量积分连续性定理，交换积分顺序得111000lnyyxxdxdxxdydyxdxx…………………（6分）11ln11dyy…………………第11页共13页（8分）5、计算22Lxydxxydy，其中L是以R为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A到最下面一点B.解题设中的右半圆周从点A到点B的参数方程为cossinxRyR，其中从2到2.………………………（3分）又()sinxR，()cosyR，故第二型曲线积分…………（4分）/222422422/2(cossincossin)LxydxxydyRRd……（6分）44/2/2(1cos4)44RRd…………………（8分）6、利用极坐标变换计算22Dydxdyx，其中D是由圆222xyx(0)y与x轴所围成的平面区域.解引入极坐标变换cosxr，sinyr，…………………………（2分）则积分区域D在此极坐标变换下变为{(,)0,02cos}2rr，………………………（4分）所以，第12页共13页222/22cos22200sinsincoscosDydxdyrdrddrdrx………………（6分）/2202sin2d……………（8分）四、应用题（每小题6分，共12分）1、求由球面2224xyz与抛物面223xyz所围成的区域的体积.解设所求区域的体积为V，则Vdxdydz.…………………（2分）引入柱面坐标变换cosxr，sinyr，zz，则球面方程变为224rz，抛物面方程变为23rz.…………………（3分）由方程组22243rzrz，消去z得在xy平面上的投影区域D的边界曲线方程3r，0z.于是，在柱面坐标下可表示为22{(,,)03,02,4}3rrzrzr，………………（4分）所以，22223423200/300(4)3rrrVdxdydzddrrdzdrrdr2320192(4