《数学分析(3)》知识点整理

《数学分析（3）》复习资料中南财经政法大学统数学院信科1101陈弄祺整理-1-《数学分析（3）》复习资料第十三章函数列与函数项级数（5%）1．（1）函数列收敛域为(),1,2,nnfxxn(1,1]，极限函数为0,1,()1,1.xfxx．（2）函数列sin(),1,2,nnxfxnn收敛域为(,)，极限函数为()0fx．2．（1）函数列在(02(),1,2,nxnfxnxen,)上不．一致收敛．（2）函数列221(),1,2,nfxxnn在(1,1)上一致收敛．（3）函数列22(),1,2,1nxfxnnx在(,上一致收敛．)（4）函数列(),1,2,nxfxnn在[0上不．一致收敛．,)（5）函数列()sin,1,2,nxfxnn在上不．一致收敛．(,)3．（1）函数项级数0nnx在(1上不．一致收敛．,1)（2）函数项级数2sinnxn，2cosnxn在上一致收敛．(,)（3）函数项级数(1)!nxn在上一致收敛．[,]rr（4）函数项级数122(1)(1)nnxx在(,上一致收敛．)（5）函数项级数nnx在11rxrr上一致收敛上不一致收敛．（6）函数项级数2nxn在上一致收敛．[0,1]（7）函数项级数12(1)nxn在上一致收敛．(,)（8）函数项级数221(1)nxx在(,上不．一致收敛．)第十四章幂级数（10%）1．对于幂级数，若0nnnaxlimnnna（1limnnnaa）则（i）当0时，收敛半径R，收敛域为(,)；《数学分析（3）》复习资料中南财经政法大学统数学院信科1101陈弄祺整理-2-（ii）当时，收敛半径，仅在0R0x处收敛；（iii）当0时，收敛半径1R，收敛域为(,)RR，还要进一步讨论区间端点xR处的敛散性．2．幂级数展开式：（1）()2(0)(0)(0)()(0)1!2!!nnffffxfxxxn（2）011nnxx，01(1)1nnnxx(1x)．（3）2(1)(1)(1))12!!mnmmmmmnxmxxxn(11)x111]，．1110101mmm时，收敛域为（，）时，收敛域为（，]时，收敛域为[，(1（4）1110(1)(1)ln(1)(11)1nnnnnnxxxxnn，1ln(1)nnxxn(11)x．（5）210(1)sin(21)!nnnxxn，20(1)cos(sin)(2)!nnnxxxn()x．（6）10(1)arctan(11)21nnnxxxn（7）0()!nxnxnex3．幂级数的和函数（1）(1)(0,1,2,k1knnkxxxx)．（2）()(1)(1)1knnnkxxxx)．(0,1,2,k（3）1ln(1)nnxxn．(11)x（4）121111()1(1)nnnnnnxnxxxxx(1x)．（5）223)21111(1)()1(1)(1nnnnnnxnnxxxxxx(1x)．第十五章傅里叶级数（10%）()fx是以2为周期且在[,]上可积的函数：1．01()(cossin)2nnnafxanxbnx，01()afxdx，《数学分析（3）》复习资料中南财经政法大学统数学院信科1101陈弄祺整理-3-1()cosnafxnxdx，1()sinnbfxnxdx1,2,n，．2．01()cossin2nnnanxnxfxabll，01()llafxldx，1()coslnlnxafxdxll，1()sinlnlnxbfxdxll，1,2,n．3．（1）偶函数的傅里叶级数：01()cos2nnanxfxal，012()cos()cosllnlnxnxafxdxfxdxllll，．1,2,n01()cos2nnafxanx，012()cos()cosnafxnxdxfxnxdx，1,2,n．（2）奇函数的傅里叶级数：1()sinnnnxfxbl，012()sin()sinllnlnxnxfxdxfxdxllllb1,2,，n．1()sinnnfxbnx，012()sin()sinnb，fxnxdxfxnxdx1,2,n．第十六章多元函数的极限与连续（5%）1．若累次极限00limlim(,)xxyyfxy，00limlim(,)yyxxfxy和重极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy都存在，则三者相等．2．若累次极限00limlim(,)xxyyfxy与00limlim(,)yyxxfxy存在但不相等，则重极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy必不存在．3．2222(,)(0,0)lim0xyxyxy，2222(,)(0,0)1limxyxyxy，2222(,)(0,0)lim211xyxyxy，22(,)(0,0)1lim()sin0xyxyxy，2222(,)(0,0)sin()lim1xyxyxy．第十七章多元函数微分学（20%）1．全微分：zzdzdxdyxy．2．zzzxyxyxxyyttstsstszzxzysytsxsyzzxztxty．3．若函数f在点可微，则0Pf在点沿任一方向的方向导数都存在，且0P000(,,)lxyz0000()()cos()cos()coslxyzfPfPfPfP，其中cos，cos，cos为方向lx的方向余弦，000(,,)yz《数学分析（3）》复习资料中南财经政法大学统数学院信科1101陈弄祺整理-4-即022000cosx2xyz，022000cosy2xyz，022000cosz2xyz．4．若(,,)fxyz在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量0000(,,)Pxyz000((),(),())xyzfPfPfP为函数f在点的梯度，记作0P000(),()ad)z((),xygrfPfPfPf．向量gradf的长度（或模）为22(2000gra)(d()xyfPfffPP)z．5．设，(,zfxyxy)f有二阶连续偏导数，则有1211z212()zfyfzxxyyy2ffyfyfx，11122212221112221(1)()ffxfyffxffxyfxyf．6．设，令00()()0xyfPfP0()xxfPA，0()xyfPB，0()yyfPC，则（i）当，时，20ACB0Af在点取得极小值；0P（ii）当，20ACB0A时，f在点取得极大值；0P（iii）当时，20ACBf在点不能取得极值；0P（iv）当时，不能肯定20ACBf在点是否取得极值．0P第十八章隐函数定理及其应用（10%）1．隐函数，则有(,)0FxyxyFdydxF．2．隐函数，则有(,,)0FxyzxzFzxF，yzFzyF(,,,)0(,,,)0FxyuvGxyuv．3．隐函数方程组：，有xyuvxyuvFFFFFFFFxyuvGGGGGGGGxyuv，则uvuvuvFFJGG，xvxvxvFFJGG，uxuxuxFFJGG，yvyvyvFFJGG，uyuyuyFFJGG，xvuvJuxJ　，uxuvJvxJ，yvuvJuyJ，uyuvJvyJ．4．平面曲线在点的切线．．方程为(,)0Fxy000(,)Pxy000000(,)()(,)()0xyFxyxxFxyyy，法线．．方程为000000(,)()(,)()0yxFxyxxFxyyy．5．空间曲线：在点处的L(,,)0(,,)0FxyzGxyz0000(,,)Pxyz《数学分析（3）》复习资料中南财经政法大学统数学院信科1101陈弄祺整理-5-切线．．方程为00zxyzxyzxyzxy0xxyyzzFFFFFFGGGGGG00000()()()0xyzFxxFyyFzz，法线．．方程为．00()()()yzxyzxyzxyzxFFFFFFxxyyzzGGGGGG6．曲面在点处的切平面．．．方程为(,,)0Fxyz0000(,,)Pxyz，法线．．方程为00xy0zxxyyzzFFF．7．条件极值例题：求函数在约束条件22uxyz222zxy与4xyz下的最大值和最小值．解：令，22222(,,,,)()(4)Lxyzxyzzxyxyz则由，得稳定点22220222040xyzLxxLyyLzLzxyLxyz00112xyz及228xyz，故当1xy，时函数在约束条件下取得最小值，2z22uxyz28z26当，时函数在约束条件下取得最大值．2xy22uxyz72第十九章含参量积分（5%）1．，；10()sxsxedx0s(1)(ss)s；1()2；1(21)!!()22nnn，1(1)2()2(21)!!nnnn．2．1110(,)(1)pqpqxx)dx(0,0pq；(,)(,)pqqp；1(,)(,1)1qpqpqpq；(0,1pq)1(,)(1,)1ppqpqpq)；(1,0pq(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)pqpqpqpqpq．(1,1pq)3．()()(,)()pqpqpq．(0,0pq)第二十章曲线积分（5%）1．设有光滑曲线：L(),(),xtytt[,]，函数(,)fxy为定义在L上的连续函数，则22(,)((),())()()Lfxydsfttttdt；《数学分析（3）》复习资料中南财经政法大学统数学院信科1101陈弄祺整理-6-当曲线由方程L()yx，[,]xab表示时，2(,)(,())1()bLafxydsfxxxdx．2．设平面曲线：L(),(),xtytt[,]，其中()t，在[,]上具有一阶连续导函数，且((),())A，((),())B．又设与为上的连续函数，则沿L从A到(,)Pxy(,)QxyLB的第二型曲线积分(,)(,)[((),())()((),())()]LPxydxQxydyPtttQtttdt