第14讲哈密顿算子2

《矢量分析与场论》第14讲哈密顿算子（2）梅金顺中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院回顾：Hamilton算子1kzjyixgraduukzjyixu)(AdivkAjAiAkzjyixAzyx)()(ArotkAjAiAkzjyixAzyx)()(Hamilton算子梯度算子旋度算子散度算子2)()(kzjyixkzjyix222222zyxdVASdASSlSdAldA)(奥氏公式斯托克斯公式Laplace算子回顾：Hamilton算子1乘积的微分法则：当算子作用于两个函数的乘积时，每次只对其中的一个因子作用，而把另外一个因子看作常数。回顾：Hamilton算子1主要内容3.算子运算教材：第3章3.算子运算在应用这些公式的时候，设法将其中的常矢都移到的前面，而将变矢都保留在的后面。)()()(BACACBCBA算子的运算中，经常用到三个矢量的混合积公式，及二重矢量积公式，)()()(BACCABCBA3.算子运算例4：证明（14）)()()()()(BAABBAABBA)()()(ccBABABA证：根据算子的微分性质，应用乘积的微分法则，则有，)()()(BACCABCBA)()()()()(BAABBAABBABABABAccc)()()(BABA)()()()()(ABABBAccc)()(ABAB3.算子运算解：3ryzxkzjyixusin3)(例5：已知，，求。yzxusin3rukzjyixrrururu)coscos(sin3kyzxyjyzxziyzrurururkyzxyjyzxziyzyzx)coscos(sin3sin9yzxyzyzxcos6sin123.算子运算A例6：设，求点处。)1,2,1(MkyzjyzxixzA4232234222382022430yzzyxzxxyzxzzADkxyzjxziyxzA)04()03()]2(2[224解：因为，故由的雅可比矩阵ArotAAkxyzjxziyxz43)22(224kjiAM8363.算子运算r例7：验证，其中为常矢，为位置矢量。aSlSdaldra2)(证：斯托克斯公式为，，raASlSdAldA)(取SllSdraldAldra))(()()()()()()(BAABBAABBA)()()()()(raarraarraarayaxazzyx30)(0akajaiazyx3)(aa3a2SlSdaldra2)(3.算子运算例8：验证格林第一公式与格林第二公式，证：奥氏公式为，，vuAdVvuuvSdvuS)()(取dVuvvuSduvvuS)()(dVASdASAuAuAudVvuSdvuS)()(dVvuvu)(dVvuvu)(3.算子运算证：同理可得，dVvuuvSdvuS)()(两式相减，可得，dVuvvuSduvvuS)()(dVuvuvSduvS)(dVvuvuSdvuS)(dVuvvuSduvvuS)()(例8：验证格林第一公式与格林第二公式，3.算子运算证明：例：证明（习题7第1题）。.AuAuAuAuAuAu)()()(ccAuAuAu)(AucAucAu)(cAucAuAu3.算子运算例：证明（12）（习题7第2题）。ABABBABABA)()()()()(证：)()()(ccBABABACBACABCBA)()()()()()(BABABAccc)()()(ABABBAcccABABBABABA)()()()()(3.算子运算例：证明（习题7第3题）。)()(21)(2AAAAA证：ABABBABABA)()()()()(AAAAAAAAAA)()()()()(])[(2)]([2)(2AAAAA)()(21)(2AAAAA3.算子运算例：证明（习题7第4题）。).()(uAuA证：uA)(ukzjyixkAjAiAzyx)]()[(uzAyAxAzyx)(zuAyuAxuAzyx)()(kzujyuixukAjAiAzyxuA3.算子运算例：证明（习题7第5题）。vuuvvuuv2)(证：vuuvvu2)(uv)(uv)(uvvu)]([)]([uvvu)()()()()()(uvuvvuvu3.算子运算;)(aar（1）例：设为常矢，，，求证（习题7第6题）ba,rrkzjyixr（2）);(1)(arrar（3）);(1)(arrar（4）;])[(babar（5）].)()[(2)(2araraara3.算子运算证明：（1）例：设为常矢，，，求证（习题7第6题）ba,rrkzjyixr)(ar（2）))((arkzjyix))((zyxzayaxakzjyix.a)(ar).(1arrarar)(arr（3）)(ar).(1arrarar)(arr（4）])[(barbarbar)]([)(ba3.算子运算证明：（5）例：设为常矢，，，求证（习题7第6题）ba,rrkzjyixr)(2ra))(())(()()(cbdadbcadcba)]()[(rara)(2ra)])(())([(rararraa22)()()(raraa)()(2)(2rararaarararraar)(2)(2])()[(2araraa3.算子运算（选讲）求证满足以下方程组（习题7第7题）AuB证明：因代入，例：已知函数和无源场分别满足，Au),,,(zyxFu),,(zyxGA),,,(zyxFB),,(zyxGBAuB有)(AuB)(Au)(Au,0)(A),,,(zyxFu)(AuB0),,(zyxF),,(zyxF求证满足以下方程组（习题7第7题）AuB证明：因代入，例：已知函数和无源场分别满足，Au),,,(zyxFu),,(zyxGA),,,(zyxFB),,(zyxGBAuB有)(AuB)(Au,0)(u),,,(zyxGA),,(zyxGBAAu)(0A3.算子运算（选讲）证明：（1）格林第一公式为，（1）SdSnf0例：设为区域的边界曲面，为的向外单位法矢，与均为中的调和函数，证明SnSfg（2）SdVfdSnff2（习题7第8题）（3）SSdSnfgdSngfdVvuuvSdvuS)()(3.算子运算（选讲）证明：（1）dVvuuvSdvuS)()(dVffSdfS)11()1(令，可得，fvu,1为调和函数，故，故有，f0f0)(SSdfSdSnf)(SdSnf0SdSnf为中调和函数的充要条件是，f3.算子运算（选讲）证明：（2）dVvuuvSdvuS)()(dVffffSdffS)()(令，可得，fvfu,为调和函数，故，故有，f0fdVfSdffS2)(SSdSnffSdff)()(SdSnffSdVfdSnff23.算子运算（选讲）证明：（3）令，可得，gvfu,为调和函数，故，故有，gf,00,gfdVuvvuSduvvuS)()(dVfggfSdfggfS)()(0)(SSdfggfSSSdfgSdgfSSdSnfgdSngfSSdSnfgdSngf3.算子运算（选讲）小结：