2-2冲激响应和阶跃响应

二、系统解法：零输入响应和零状态响应一、经典解法：微分方程的求解复习：零输入响应：为齐次解，初始条件不跃变，即)0()0()0()0(yyyyxx零状态响应：令初始状态为零，即0)0()0(yy零状态响应=齐次解+特解由系数匹配法定)0()0(yy、§２.2冲激响应和阶跃响应一、冲激响应的概念及求解主要内容：二、阶跃响应的概念及求解重点：冲激响应和阶跃响应的求解学习冲激响应和阶跃响应的原因：1.冲激函数和阶跃函数代表了两种典型信号，求它们引起的零状态响应是线性系统分析中常见的典型问题；2.信号分解为许多冲激信号的基本单元之和或阶跃信号之和，当要计算某种激励信号对于系统产生的零状态响应时，可先分别计算冲激信号或阶跃信号引起的零状态响应，然后叠加即得所需之结果。卷积法的原理2.2.1一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激信号δ(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号δ(t)时，系统的零状态响应。其示意图如下图所示。冲激响应示意图0t(t)(1)线性非时变系统(t)h(t){×(0)}＝{0}th(t)0一、冲激响应1.定义：当激励f(t)=(t)时LTI系统的零状态响应激励f(t)=(t)；系统的零状态响应。2.求解：将冲激信号的作用转换为系统的初始条件，然后求冲激响应。思路：冲激响应用h(t)表示。（1）写出系统微分方程。（2）写出微分方程的齐次解。（3）在微分方程中利用(t)匹配的方法定初始条件，即：{h(0+)}（4）将初始条件代入，确定待定系数，得到冲激响应。步骤：1.冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。例:已知某线性时不变系统的动态方程式为()3()2()(0)dytytfttdt试求系统的冲激响应h(t)。解:根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=δ(t)时，即为h(t)，即原动态方程式为由于动态方程式右侧存在冲激信号δ(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有δ(t)。这样冲激响应h(t)必为Aeλtu(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为()3()2()(0)dhthtttdt30)0()0(yy、解得A=2，因此，系统的冲激响应为)(2)()(2)(3)(3)()(2)(3)]([33333ttAttAetAetAettAetAedtdttttt特征根λ1=-3，因此可设，式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有)()(3tAetht)(2)(3tetht2.等效初始条件法系统冲激响应h(t)的求解还有另一种方法，称为等效初始条件法。冲激响应h(t)是系统在零状态条件下，受单位冲激信号δ(t)激励所产生的响应，它属于零状态响应。例:已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为y′(t)+3y(t)=2f(t)，t≥0试求系统的冲激响应h(t)。解:冲激响应h(t)满足动态方程式h′(t)+3h(t)=2δ(t)，t≥0由于动态方程式右边最高次为δ(t)，故方程左边的最高次h′(t)中必含有δ(t)，故设因而有将h′(t)与h(t)分别代入原动态方程有A=2，B=-6)()()('tBtAth)(2)()3()()(2)(3)()(ttABtAttAtBtA)()(tAth)(2)(tth3.系统的冲激响应h(t)反映的是系统的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。但系统的冲激响应h(t)可以由冲激信号δ(t)作用于系统而求得。在以上两种求解系统冲激响应h(t)的过程中，都是已知系统的动态方程。例2.2-1求二阶LTI系统的冲激响应。)()(6)(5)(tftytyty分析：根据冲激响应的概念，该题目隐含了以下条件：0)0()0()()(yyttf)()(6)(5)(tththth0)0()0(hh)()()(32teethtt解例2.2-2求二阶LTI系统的冲激响应。)(3)(2)()(6)(5)(tftftftytyty解：利用系统的线性和微分性质求解)()(6)(5)(111tththth设则)(3)(2)()(111thththth)()(6)(5)(111tththth0)0()0(11hh)()()(1tBtAth)()(1tAth0)(1th51BA0)0(1)0(11hh)()()(321teethtt)(3)(2)()(111thththth)()()(321teethtt)()32()()()()32()(3232321teeteeteethtttttt)()()94()()32()()94()(3232321tteeteeteethtttttt)()()63()(32tteethtt3.冲激响应的一般形式：左边为n阶，右边为m阶的微分方程：)()(6)(5)(tftytyty)()()(32teethtt当nm时：当n=m时：)(3)(2)()(6)(5)(tftftftytyty)()()63()(32tteethtth(t)具有自由响应（齐次解）的形式。h(t)有自然响应的形式并含有冲激(t)。2.2.2一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应，如图2.17所示。线性非时变系统g(t){×(0)}＝{0}01tu(t)g(t)0tu(t)阶跃响应示意图二、阶跃响应1.定义：当激励f(t)=(t)时LTI系统的零状态响应激励f(t)=(t)；系统的零状态响应。阶跃响应用g(t)表示。2.阶跃响应和冲激响应的关系：dttdgthdhtgt对于同一个LTI系统3.阶跃响应的求法：1）经典法；2）从冲激响应求阶跃响应。如果描述系统的微分方程式是y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)，将代入，可求得其特解上的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式(n≥m)为)(00tab)()(ttf)()()(001tabectgtniii信号的时域分解一、信号分解为冲激信号的叠加：在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。)()()2()2()()()()0(ktkftftftf…………t0f(t)t)()()2()2()()()()0(ktkftftftfkktkftf)()()(dtftf)()()(0任意f(t)可用无穷多个冲激函数之和（积分）表示。二、信号分解为阶跃信号的叠加：tf(t)t0...)]1([...2)](2[]0[)](0[...)(tkttkftkftttftfttftfttfftfdtftfttkttkftkftkttkftkftttftfttftfttfftftnk,0]]1[[...)]1([...2)](2[]0[)](0[...)(时当三、偶分量与奇分量偶分量定义奇分量定义0t0t)()(tftfee)()(tftfoo)]()([21)()]()([21)()()()]()([21)]()([21)]()()()([21)(tftftftftftftftftftftftftftftftftfoeoe