2018版高中数学-第一章-三角函数导学案-新人教A版必修4

K12最新资料第一章三角函数1例说弧度制中的扇形问题与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式l＝|α|r和扇形面积公式S＝12|α|r2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解.下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题.例1已知扇形的圆心为60°，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积.解设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝π3，r＝10，所以l＝αr＝10π3，所以S弓＝S扇－S△＝12lr－12r2sinα＝50π3－32.评注本题利用扇形面积求弓形面积，解题时要根据具体问题进行分割，再求解.例2扇形的半径为R，其圆心角α(0＜α≤π)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？解如图，设内切圆半径为r.则(R－r)sinα2＝r，所以r＝Rsinα21＋sinα2，则内切圆的面积S＝πr2＝πRsinα21＋sinα22＝πR2sinα21＋sinα22.因为sinα21＋sinα2＝11＋1sinα2，且0＜α2≤π2，所以当α2＝π2，即α＝π时，Smax＝πR24.评注解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用，建立相等关系，进而求解.K12最新资料2例3已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，所以l＝30－2r，从而S＝12lr＝12(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－r－1522＋2254cm2，所以当半径r＝152cm时，扇形面积最大，为2254cm2.这时α＝lr＝2.评注本题是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值.此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用此法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题.针对练习：1.扇形的周长C一定时，它的圆心角θ取何值才能使扇形面积S最大？最大值是多少？2.在扇形AOB中，∠AOB＝90°，弧AB的长为l，求此扇形内切圆的面积.3.已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.答案1.θ＝2时，扇形面积最大，最大值为C216.2.S＝πr2＝12－82πl2.3.2cm2.2任意角三角函数问题错解辨析任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考.一、概念不清例1已知角α的终边在直线y＝2x上，求sinα＋cosα的值.错解在角α的终边所在直线y＝2x上取一点P(1，2)，则r＝12＋22＝5.所以sinα＋cosα＝yr＋xr＝25＋15＝355.剖析错解未弄清直线与角的终边的区别，误认为在角α的终边所在直线上取一点与角α的终边上任取一点都可以确定角α的三角函数值，由任意角三角函数的定义知这是错误的.正解在直线y＝2x的第一象限部分取一点P(1，2)，则r＝12＋22＝5.所以sinα＋cosα＝yr＋xr＝25＋15＝355.K12最新资料3在直线y＝2x的第三象限部分取一点P(－1，－2)，则r＝－12＋－22＝5.所以sinα＋cosα＝yr＋xr＝－25＋－15＝－355.综上，sinα＋cosα的值为355或－355.二、观察代替推理例2当α∈(0，π2)时，求证：sinαtanα.错解如图，设角α的始边与x轴非负半轴重合，角α的终边与单位圆的交点为P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1，0)作单位圆的切线与角α的终边交于点T，则MP＝sinα.记AP的长为l，则l＝α·OP＝α，AT＝tanα.观察可得MP＜l＜AT，所以sinα＜α＜tanα.剖析证明过程中，通过观察得到的结论，缺乏理论根据，这是不允许的.正解设角α的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1，0)作单位圆的切线与角α的终边交于点T，则MP＝sinα.记AP的长为l，则l＝α·OP＝α，AT＝tanα.因为S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，所以12OA·MP＜12OA·l＜12OA·AT.所以MP＜l＜AT，即sinα＜α＜tanα.三、估算能力差例3若θ∈0，π2，则sinθ＋cosθ的一个可能的值是()A.23B.27πC.4－22D.1错解因为θ∈0，π2，所以0＜sinθ＜1，0＜cosθ＜1.因此选A.剖析由于方法不当，估算能力差，没有正确估算出sinθ＋cosθ的范围，造成错误。K12最新资料4正解如图所示，设P(x，y)是角θ终边上任意一点，且|OP|＝r，则sinθ＋cosθ＝yr＋xr＝x＋yr.因为θ∈0，π2，所以x＞0，y＞0，且x＋y＞r.故sinθ＋cosθ＞1.而四个选项中只有C符合要求.故选C.以上列举了三种常见的错误，并给出正确解法.同学们在解题时要认真审题，缜密思考，避免犯类似的错误.3同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用.一、知一求二型例1已知sinα＝255，π2≤α≤π，则tanα＝____________________________________.解析由sinα＝255，且sin2α＋cos2α＝1得cosα＝±55，因为π2≤α≤π，可得cosα＝－55，所以tanα＝sinαcosα＝－2.答案－2点评已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.K12最新资料5二、妙用“1”例2证明：1－sin6x－cos6x1－sin4x－cos4x＝32.证明因为sin2x＋cos2x＝1，所以1＝(sin2x＋cos2x)3，1＝(sin2x＋cos2x)2，所以1－sin6x－cos6x1－sin4x－cos4x＝sin2x＋cos2x3－sin6x－cos6xsin2x＋cos2x2－sin4x－cos4x＝3sin4x·cos2x＋3cos4x·sin2x2sin2xcos2x＝3sin2x＋cos2x2＝32.即原命题得证.点评本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.三、齐次式型求值例3已知tanα＝2，求值：(1)2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝________；(2)2sin2α－3cos2α＝________.解析(1)因为cosα≠0，分子分母同除以cosα，得2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝2tanα－34tanα－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)2sin2α－3cos2α＝2sin2α－3cos2αsin2α＋cos2α，因为cos2α≠0，分子分母同除以cos2α，得2sin2α－3cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－3tan2α＋1＝2×22－322＋1＝1.答案(1)－1(2)1点评这是一组在已知tanα＝m的条件下，求关于sinα、cosα的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sinα、cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cosα≠0，所以分子、分母可同时除以cosnα(n∈N*).这样可以将所求式化为关于tanα的表达式，整体代入tanα＝m的值求解.4单调不“单调”，应用很“奇妙”三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容.利用其可以方便地进行K12最新资料6比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等.下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助.一、信心体验——比较大小例1比较cos5π14，sin2π7，－cos8π7的大小.解因为sin2π7＝cos(π2－2π7)＝cos3π14，－cos8π7＝cosπ7，又0π73π145π14π2，而y＝cosx在[0，π]上是减函数，所以cosπ7cos3π14cos5π14，即－cos8π7sin2π7cos5π14.点评比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行：①将不同名的三角函数化为同名三角函数；②用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小；③由单调性得出各值的大小关系.二、重拳出击——求解最值例2已知f(x)＝2sin(2x－π4)，x∈R.求函数f(x)在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值.解因为当2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k∈Z)时，函数f(x)＝2sin(2x－π4)单调递增；当2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，即kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)时，函数单调递减，所以f(x)＝2sin(2x－π4)在区间[π8，3π8]上为增函数，在区间[3π8，3π4]上为减函数.又f(π8)＝0，f(3π8)＝2，f(3π4)＝－1.故函数f(x)在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.点评求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是高考中经常出现的考点，解题过程中要注意将ωx＋φ看作一个整体.利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合K12最新资料7运用.三、触类旁通——解不等式例3若0≤α2π，sinα33cosα，求α的取值范围.解当α＝π2时，不等式成立，当α＝3π2时，不等式不成立.当α∈[0，π2)∪(3π2，2π]时，cosα0，则原不等式可化为tanα33，根据正切函数的单调性得，π6απ2；同理可得，当α∈(π2，3π2)时，π2α7π6.综上，α的取值范围是(π6，7π6).点评利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解.5善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1在(0，2π)内，使sinxcosx成立的x的取值范围是________.解析在同一坐标系中画出y＝sinx，y＝cosx，x∈(0，2π)的图象如图.由图知，x∈(π4，5π4).答案(π4，5π4)点评求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单.二、分类讨论思想例2证明：2sinα＋nπcosα－nπsinα＋nπ＋sinα－nπ＝(－1)ncosα，n∈Z.证明当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，左边＝2sinα＋2kπcosα－2kπsinα＋2kπ＋sinα－2kπ＝2sinαcosαsinα＋sinα＝2sinαcosα2sinα＝cosα.右边＝(－1)2kcosα＝cosα，∴左边＝右边.K12最新资料8当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，左边＝2sinα＋2kπ－πcosα－2kπ＋πsinα＋2kπ－π＋sinα－2kπ＋π＝2sinα－πcosα＋πsinα－π＋sinα＋π＝2－sinα－cosα－sinα＋－sinα＝2sinαcosα－2sinα＝－cosα.右边＝(－1)2k－1cosα＝－cosα，∴左边＝右边.综上所述，2sinα＋nπcosα－nπsinα＋nπ＋sinα－nπ＝(－1)ncosα，n∈Z成立.点评解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是kπ±α(k∈Z)的形式，往往对参数k进行讨论.常见的一些关于参数k的结论有sin(kπ＋α)＝(－1)ksinα(k∈Z)；cos(kπ＋α)＝(－1)kcosα(k∈Z)；sin(kπ－α)＝(－1)k＋1sinα(k∈Z)；cos(kπ－α)＝(－1)kc