1/5《完全平方公式》典型例题例1利用完全平方公式计算:(1)2)32(x;(2)2)42(aab;(3)2)221(bam.例2计算:(1)2)13(a;(2)2)32(yx;(3)2)3(yx.例3用完全平方公式计算:(1)2)323(xy;(2)2)(ba;(3)2)543(cba.例4运用乘法公式计算:(1)))()((22axaxax;(2)))((cbacba;(3)2222)1()1()1(xxx.例5计算:(1)2241)321(xx;(2))212)(212(baba;(3)22)()(yxyx.例6利用完全平方公式进行计算:(1)2201;(2)299;(3)2)3130(例7已知12,3abba,求下列各式的值.(1)22ba;(2)22baba;(3)2)(ba.例8若2222)()(3cbacba,求证:cba.2/5参考答案例1分析:这几个题都符合完全平方公式的特征,可以直接应用该公式进行计算.解:(1)22229124)3(3222)32(xxxxx;(2)222222216164)4(422)2()42(ababaaaababaab;(3)22224241)221(bambmabam.说明:(1)必须注意观察式子的特征,必须符合完全平方公式,才能应用该公式;(2)在进行两数和或两数差的平方时,应注意将两数分别平方,避免出现223124)32(xxx的错误.例2分析:(2)题可看成2]3)2[(yx,也可看成2)23(xy;(3)题可看成2)]3([yx,也可以看成2])3[(yx,变形后都符合完全平方公式.解:(1)2221132)3()13(aaa1692aa(2)原式22)3(3)2(2)2(yyxx229124yxyx或原式2)23(xy22)2(232)3(xxyy224129xxyy(3)原式2)]3([yx2)3(yx2232)3(yyxx2269yxyx或原式22)3(2)3(yyxx3/52269yxyx说明:把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式,做题时要灵活运用.例3分析:第(1)小题,直接运用完全平方公式x32为公式中a,y3为公式中b,利用差的平方计算;第(2)小题应把2)(ba化为2)(ba再利用和的平方计算;第(3)小题,可把任意两项看作公式中a,如把)43(ba作为公式中的a,c5作为公式中的b,再两次运用完全平方公式计算.解:(1)2)323(xy=2229494)332(yxyxyx(2)2)(ba=2222)(bababa(3)22225)43(10)43()543(cbacbacba=abbcbcaca24162540309222说明:运用完全平方公式计算要防止出现以下错误:222)(baba,222)(baba.例4分析:第(1)小题先用平方差公式计算前两个因式的积,再利用完全平方式计算.第(2)小题,根据题目特点,两式中都有完全相同的项ca,和互为相反数的项b,所以先利用平方差公式计算])[(bca与])[(bca的积,再利用完全平方公式计算2)(ca;第三小题先需要利用幂的性质把原式化为22)]1)(1(10[(xxx,再利用乘法公式计算.解:(1)原式=422422222222)())((axaxaxaxax(2)原式=22)(])][()[(bcabcabca=2222bcaca(3)原式=22222)]1)(1[()]1)(1)(1[(xxxxx=12)1(4824xxx.说明:计算本题时先观察题目特点,灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质,4/5以达到简化运算的目的.例5分析:(1)和(3)首先我们都可以用完全平方公式展开,然后合并同类项;第(2)题可以先根据平方差公式进行计算,然后如果还可以应用公式,我们继续应用公式.解:(1)xxxxxx3941934141)321(2222;(2)]21)2][(21)2[()212)(212(babababa414441)2(222bababa;(3))2(2)()(222222yxyxyxyxyxyxxyyxyxyxyx4222222.说明:当相乘的多项式是两个三项式时,在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究.例6分析:在利用完全平方公式求一个数的平方时,一定要把原有数拆成两个数的和或差.解:(1)4040112002200)1200(201222;(2)980111002100)1100(99222.(3)2)3130(=222)31(3130230)3130(.219209120900说明:在利用完全平方公式,进行数的平方的简算时,应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数,这才能达到简算的目的.例7分析:(1)由完全平方公式2222)(bababa,可知22ba2)(baab2,可求得3322ba;(2)45)12(332222abbababa;(3)57)12(2332)(222bababa.解:(1)33249)12(232)(2222abbaba(2)451233)12(33)(2222abbababa5/5(3)abbabababa2)(2)(22222572433)12(233说明:该题是2222)(bababa是灵活运用,变形为abbaba2)(222,再进行代换.例8分析:由已知条件展开,若能得出,0)()()(222accbba就可得到,0,0,0accbba进而,,cbaaccbba同时此题还用到公式bcacabcbacba222)(2222.证明:由,)()(32222cbacba得acbcabcbacba222333222222.0222222222bcacabcba则0)2()2()2(222222aacccbcbbaba.0)()()(222accbba∵.0)(,0)(,0)(222accbba∴.0,0,0accbba即,,,accbba得cba.