延长退休年龄的数学模型

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。1延长退休年龄的数学模型摘要本文通过分析我国现阶段人口老龄化问题，通过查阅相关的资料，从人口结构转变引起的养老金支付压力，我国已具备延长退休年龄的必要条件，人口寿命延长加大养老金支付压力，人口红利进入收割期这四个方面分析，提出了有必要延长退休年龄的观点。随之建立了Leslie离散模型，通过编写程序，运用matlab软件计算预测出了2001年至2100年我国各个年龄段的人口数量，通过画图，来说明未来一百年老龄化的严重程度。在Leslie离散模型预测出的数据的基础之上，以养老金保险基金为切入点，建立了养老保险基金财务平衡模型，以五年为一个间隔，当退休年龄分别为60岁和65岁时，计算出从2010年到2100的赡养率和基本养老金的平均替代率，通过对数据的分析和多方面的比较，提出了我国应该将退休年龄延长到65岁的建议。在退休年龄为65的基础上，针对如何公平公正确定退休金的发放和何时开始延长退休年龄这些问题，我们提出了分步骤，分阶段实行退休年龄延长的建议，应该实行弹性退休政策，应该根据不同地区和不同的人群制定合适的退休年龄，而不是实行一刀切的退休政策。最后我们对建立模型的过程中没有考虑到的问题进行了优化，写出了优化方案，补充完善了模型，最后，我们对模型的优缺点进行评价。关键词老龄化Leslie离散模型matlab软件养老保险基金财务平衡模型2一、问题重述：随着我国计划生育实施30年，以及老龄化社会的来临，社会中所需的劳动力短缺和养老保险资金储备的压力，我国自二十一世纪初以来，社会人口结构进入老龄化阶段的表征日益显现，人均寿命延长和劳动年龄人口数量的增长速度不断递减。进入“十二五”期间后，我国更将是进入人口的快速老龄化阶段，劳动年龄人口的抚养比逐年上升，从而对我国经济发展方式的转变和产业结构升级带来巨大的压力，也对现行的社会养老保险基金的可持续运作提出了严峻的挑战。针对这种现状，我们面临以下几个问题：1、根据现在面临的形式，通过查阅相关资料，确定是否有必要延长退休年龄。2、如果延长，延长时间如何确定，根据查阅的资料和建立模型说明说明延长的依据和时间。3、延长退休年龄大约需要持续的时间段大致多久，如何才能保证公平公正确定退休金的发放。二、问题分析：针对此问题，应该通过有关的资料及对数据的分析，首先确定是否应该延长退休年龄。运用leslie人口增长模型，以2001年为开始年，对以后一百年的人口结构进行预测，通过作出60岁以及65岁以上的人口分布折线图，来说明人口老龄化的严重程度，借此来说明延长退休时间的必要性。我国人口年龄结构的变化给养老保险制度带来严峻的挑战。养老保险制度的出路成为目前紧迫的课题。如果我们能从养老保险制度本身的机理出发，分析我国养老保险体系改革可以采取的一些措施，将有助于养老保险基金财务平衡和转制成本的消化。根据基础养老金在现收现付制下的财务平衡，当期的养老保险收入等于支付当期养老保险支出。建立养老保险基金财务平衡模型，由此来判断延长退休年龄的时间，通过预测未来的赡养率来决定退休年龄延长的时间。三、符号说明与模型假设3.1模型说明3.1.1模型一的符号说明：1：mitni,2,1),(在时间段t第i年龄组的人口总数2：)90,,2,1,0ibi（第i年龄组的生育率3：)90,,2,1,0idi（第i年龄组的死亡率33.2.1模型二的符号说明：1C为个人账户养老金目标替代率的缴费率cL为当期养老保险缴费人数pL为当期养老金领取人数oC为养老保险缴费率1RR为基础养老保险的平均替代率tW为在工作t期的总工资收入DB为赡养率2RR个人账户养老金的平均替代率k为工资增长率m为工作年限n为退休后领取养老金的年限职工退休后平均余命为be年4：)90,,2,1,0(isi第i年龄组的存活率5：LLeslie矩阵6：0Z2001年全国人口总数7：sz2001年城市总人口8：zz2001年镇总人口9：xz2001年乡总人口10：mini,2,1),0(2001年第i年龄段的人口总数11：)3,2,1(ivi3,2,1i时分别表示市、镇、乡的女孩出生率12：)j(Lj时段具有劳动能力的人口13：)j(社会的抚养比指数14:k总和生育率15：)(jKij时段i年龄组中女性所占的百分比4oQ为退休后第一年领取的养老金oW工作第一年的工资收入为K为社会平均工资的增长率1k工资随职工工龄的增长率2k为工资随年度的增长率il表示这个人退休时社会中分别处于j岁职工的人数r为基金的收益率b为退休年龄a为平均开始工作的年龄3.2模型假设3.2.1模型一的假设：1、首先，基本养老保险覆盖全体城镇职工。扩大覆盖面成为完善基本养老保险的首要任务之一，为完成任务各省纷纷以“前补后延的方法，把尚未参加基本养老保险范围的企业和个人纳入到制度中。2、制度中的“新人”不承担转制成本，作为转制成本，“老人”的退休金和“中人的过渡性养老金不应由“新人”承担，而由制度之外的措施解决。3、不考虑国际间的人口迁出迁入。由于我国人口基数巨大，国际间的人口迁出迁入可以忽略。3.2.2模型二的假设：1、不考虑大规模人口的迁入迁出，自然灾害，战争等因素。3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变4、不考虑移民对人口总数的影响四、模型的建立与求解4.1问题一、根据现在面临的形式，通过查阅相关资料，确定是否有必要延长退休年龄。通过查阅相关资料我们总结出了以下几点关于延长退休年龄的原因：一、人口结构转变引起的养老金支付压力。中国实行计划生育政策以来，独生子女家庭层出不穷，出生率急骤下降，老龄人口相对迅猛增长，我国人口老龄化速度位居世界前列。通常认为人口结构对经济发展具有促进或消极的影响，而这种影响是通过储蓄增加、技术改进、劳动力供给三个因素而成的。伴着计划生育等原因，出省人口迅速减少，这种特殊的人口转变方式使儿童与老人之间的比例悬殊，代际转移压力大，老年与少儿抚养比相差时间缩小使我国总抚养比处于5较低水平，在不断增长的总抚养比和不断减低的劳动力人口促进下很大程度阻碍经济增长，在目前退休年龄的演唱加长了老年人口的工作时间也相应加长了老年抚养比之间的时间间距，从而相应减轻了社会养老基金的压力。二、延长退休年龄是大势所趋，我国已具备延长退休年龄的必要条件。随着经济社会的不断发展和生活水平质量的进步，人们的身体素质已经越来越好，不少人即使到了五六十岁仍然具备旺盛的工作精力和充沛的体能。三、人口寿命延长加大了养老金支付压力伴随着人口寿命的增长，老年人口相对增加，老龄话程度加大，人口老龄化日益严重，所以对养老金的要求也随之迅速增大，以现收现付制为主的养老金制度形势严峻，人口结构对现收现付制影响更为深厚，在很长的一段时间内，养老保险制度存在着巨大的挑战。例如，同样为60岁退休，人口寿命从70岁延长至80岁，在同样的缴费制度、缴费比例下，赡养他的养老金将增加10年，中国正面临着严峻的人口老龄化，支付期延长，一个老人增加10年，那么社会仰赖保险资金的给予是巨大的，所以延长退休年龄，缩短支付期才能有效的应对人口老龄化、养老金支付压力大的有效措施。四、“人口红利”即将进入收割期，新生代劳动力供给逐步减少人口红利是指出生育率、死亡率的降低和人口年龄结构的变化给绝大多数发展中国家提供了一个经济快速发展、生活水平迅速提高的机会窗口。人口负担的轻重是衡量人口红利与人口负债的惟一尺度，若以50%作为人口负担系数高低的一个门槛，那么中国的人口红利期大致是从1990年开始，到2030年左右全面结束，前后持续大约40年。我国从2010年起，人口的少儿抚养比和老年抚养比开始分异，由老年抚养比的急速提升带动劳动人口总抚养比的提升。虽然就我国目前的劳动力供求结构状况来看，我国还处于供大于求的基本态势，然而随着人口老龄化的加剧，到2020年左右，我国人口红利期基本结束;到2030年左右，我国的新生代劳动力供给更绝对减少，老年人口急剧增多。劳动力市场供求状况失衡，出现局部地区或部分就业岗位劳动力或人力资源短缺的现象。综上所述，延长退休年龄是非常有必要的。4.2问题二，三：如果延长，延长时间如何确定以及如何公平公正发放退休金，根据查阅的资料和建立模型说明说明延长的依据和时间及发放方案。4.2.1Leslie离散模型模型建立与求解：我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，通过查阅相关数据，以一岁为间距对女性分组。4.1.1计算2001年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量)90,,2,1,0),0(ini（：2001年中国人口抽样调查数据如表1表1城市男147907城市女147465镇男80279镇女77976乡男3946906乡女372242根据抽样调查的结果，可以算出2001年城市、镇、乡人口占2001年全国总人口的比率分别为：6283.0,1297.0,242.0xzsppp我们由表2数据知2001年全国总人口627.1270Z（单位：千万），因此可以算出2001年城市、镇、乡的总人口分别为（单位：千万）：885.300zpzss、548.160zpzzz、194.800zpzxx根据2001年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出2001年城市、镇、乡处在第)90,,2,1,0(ii年龄段的女性的总数分别为)0(,)0(,)0(321iiinnn。以城市为例，设2001年城市中处在i年龄段妇女占城市总人口比率分别为iP，则siiZPn)0(1（镇、乡类似）。于是可以算出2001年处在第)90,,2,1,0(ii年龄段上的妇女总人数)0()0()0()0(321iiiinnnn（见附录1）。4.2.1.1计算处在第)90,,2,1,0(ii年龄段的每个女性平均生育女儿的人数)90,,2,1,0(ibi通过查阅相关文献给出了2001年城市、镇、乡育龄妇女（15岁—49岁）的生育率（此处应该是包含男孩和女孩）)90,,1,0(ii（15i或49i时都为0），则可以分别算出2001年处在第)90,,1,0(ii年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生育的小孩数（包含男孩和女孩），记为：)49,,16,15(,)49,,16,15(,)49,,16,15(321iHiHiHiii。以城市为例计算)49,,16,15(1iHi：`)49,,16,15()0(*)49,,16,15(111inbiHiii（镇、乡类似）。由所查阅的2001年市、镇、乡的男女出生人口性别比321,,ccc（女100计），据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩的出生率)3,2,1(100iccviii。由此就可以求出2001年处在第)49,,15(ii年龄段的每个女性平均生育女儿的人7数：)49,,15()0(332211invHvHvHbiiiii，由于总和生育率：389.1bS4915ii经计算得到总和生育率小于1.8，误差很大，我们对生育率进行修正：i1ib*1)S)/Sv8.1((b具体计算结果见附录1。4.2.1.2计算第i年龄段的女性总存活率)90,,2,1,0(idi记)90,,2,1,0(ii年龄段的女性的死亡率为id。由城市、镇、乡处在第)90,,2,1,0(ii年龄段的女性死亡率)90,,2,1,0(,,321idddiii，则处在第i年龄段的女性总死亡率)90,