反常积分的敛散性判定方法

内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作者陈志强学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012级学号122094102指导教师魏运导师职称教授最终成绩75分目录摘要………………………………………………..…….….……………..1关键词………………………………………………..…….….…………..1引言----------------------------------------------------------------------------------------2一、预备知识…………………………..…….….…………….21.无穷限反常积分…………………………..…….….……………..22.瑕积分……………………..…….….…………33.反常积分的性质……………………..…….….…………3二、反常积分的收敛判别法………………………………..…….….………41无穷积分的收敛判别……………………..…….….……………4(1).定义判别法…………………..…….….……………..……4(2).比较判别法…………………..…….….……………..……4(3).柯西判别法…………………..…….….……………..……5(4)阿贝尔判别法.…………………..…….….…………….6(5).狄利克雷判别法…………………..…….….……………72瑕积分的收敛判别…………………..…….….…………….….…8(1).定义判别法…………………..…….….……………..……8(2).定理判别法……………………………..…….….……………..9(3).比较判别法…………………………………..…….….…………9(4).柯西判别法……………………………..…….….……………9(5).阿贝尔判别法……………………………..…….….……….10(6).狄利克雷判别法……………………..…….….…………….10参考文献………………………………………………..…….….………111摘要在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。关键词：反常积分瑕积分极限敛散性2引言近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得了许多重要的进展。如华东师范大学数学系编，数学分析（上册），对反常积分积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。华中科技大学出版的数学分析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解，还用图形的方法说明其意义。引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用。众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文将对其进行归纳总结，举例说明其应用。一、预备知识1.无穷限反常积分定义1.1设函数()fx在[ａ，＋∞）有定义，若()fx在[ａ，A]上可积（Aa）且当A→＋∞时，lim()AaAfxdx存在，称反常积分()afxdx收敛，否则称反常积分()afxdx与()fxdx发散。对反常积分()afxdx与()fxdx可类似的给出敛散性定义。注意：只有当()afxdx和()fxdx都收敛时，才认为()fxdx是收敛的。2．.瑕积分定义1：设f(x)在a的任何邻域内均无界，则称a为f(x)的一个瑕点定义2：设f(x)在[),ab内有定义，且b为唯一瑕点，若lim()bδaδfxdx0存在，称瑕积分()bafxdx收敛定义3：设C,ab且为f(x)的一个瑕点，若()cafxdx和()dcfxdx均收敛，则称瑕积分()bafxdx3.反常积分的性质3(1)Cauchy收敛原理：()afxdx收敛ε对0，0Aa,当1A2A0A时，有()AAfxdx21ε(2)线性性质：若()afxdx与()agxdx都收敛，则对任意常数,kk12，()()akfxkgxdx12也收敛，且有()()akfxkgxdx12=k1()afxdx()akgxdx2(3)积分区间可加性，若()afxdx收敛，则b,a,()afxdx=()()babfxdxfxdx.(4)若()afxdx收敛，则()afxdx≤()afxdx。二、反常积分的敛散性判别法1.无穷积分的敛散性判别（1）定义判别法设函数f定义在无穷区间[,)a上，且在任何有限区间[,]au上可积.如果存在极限lim()uaufxdxJ，则称()afxdx收敛，否则发散，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不存在广义积分发散例1.1计算无穷积分0pxxedx（p是常数，且0p）解：000022111pxpxpxpxxxedxeedxepppp式中1limlimlim0pxpxpxxxxxxeepe4(2).比较判别法的普通形式：(),()fxgx在,a有定义，且()()()fxgxxa0（a）()agxdx()afxdx（b）()afxdx=+()agxdx=+例1.2讨论sinxdxx201的收敛性解：由于sinxxx22111，,x0因为dxπx2012为收敛，所以根据比较判别法sinxdxx201为绝对收敛。(3).比较判别法的极限形式：(),()fxgx在,a有定义，且非负，且()lim()xfxlgx则：（a）当l0时，=()agxdx()afxdx（b）l+时，()agxdx=()afxdx=（c）0l时，()agxdx，()afxdx具有相同点敛散性。证：（1)若()lim()xfxlgx，由极限的性质，存在常数A（Aa）使得当xA时成立()()fxlgx1+即()()()fxlgx1+于是由比较判别法，当()agxdx收敛时5()afxdx也收敛（2）若()lim()xfxlgx0??=，由极限的性质，存在常数A（Aa），使得当xA时成立'()()fxlgx其中0'll'()()fxlgx于是由比较判别法，当()agxdx发散时()afxdx也发散例1.3讨论dxxxxx3432113521的敛散性解：limxxxxxx34343213521，而dxx3411收敛，所以dxxxxx3432113521收敛总结：使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确，同时又形成简单的函数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取px1为比较对象的，因为它们正好能满足这俩个条件(4).柯西判别法：设()fx在,a有定义，在任何有限区间[],au上可积，且limpxxfxλ则有：当,pλ10时，()afxdx收敛当p1，时，()afxdx发散(5).阿贝尔判别法：()()afxgxdx满足：（a）()fx单调有界6（b）()agxdx收敛则()()afxgxdx收敛证：由于存在M0，使()fxM()xa再由（2）可知，ε对0,a0A,当210AAA时，有()()AAfxgxdx21ε又()()AAfxgxdx21=()()()()ζAAζfAgxdxfAgxdx2112M（ε+ε）=2Mε再次由柯西准则知Abel定理成立。例1.4证sinarctanλxxdxx1(0λ1)收敛利用阿贝尔判别法，因为sinλxdxx1收敛，又arctanx在,1上单调有界，故sinarctanλxxdxx1是收敛的(6).Dirichlet判别法：()()afxgxdx满足（1）f(x)单调且趋于0（x0）（2）()Aagxdx有界（aA）则()()afxgxdx收敛。证：由于存在M0，()Aagxdx有界，所以有()AagxdxM又由于f（x）0（x)故对ε对0,a0A,当210AAA时，有()()fAfA21-ε即()fA2ε，()fA1ε，所以()()()ζζAAaafxdxgxdxgxdx2M2同理有7()AζgxdxM12，故当,AAA210时，有()()()()()()AζAAaζfxgxdxfAgxdxfAgxdx21121Mε4例1.5证积分sinxdxx1收敛，但不绝对收敛证：sincoscosAxdxA112，而x1单调且当x时趋于0，故由Dirichlet判别法知sinxdxx1收敛；但sinsinsinsinxxxxxxx21=cosxxx1222-而cossinsinAxdxA1122112，x12单调趋于0，故cosxdxx122收敛，而dxx112发散，故sinAxdx1发散例1.6积分pxdx10的敛散性当p0时是可积的；当p0时，它是不可积的，因为这时被积函数在[],01上无界。但作为反常积分，当p1-时收敛；当p1时发散；因为当p1时有limlimppδδδδxdxp110011/,,pp1111若若p-而当p1=-时有limlimlnlnδδδxdxδ11001例1.7积分pxdx0作为反常积分，当p1-时它收敛；当p1时它发散。这是因为当p1时有8limlimppδδδδxdxp110011/,,pp1111若若p-而当p=-1时有limlimlnlnδδδxdxδ110012.瑕积分的收敛判别（1）定义判别法设函数f定义在无穷区间(,]ab上，在点a的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间有限区间[,](,]ubab上有界且可积.如果存在极限lim()buuafxdxJ，则称反常积分()afxdx收敛.，否则发散例2.1计算瑕积分1021xdxx的值解：被积函数2()1xfxx在[0,1)上连续，从而在任何[0,][0,1)u上可积，0x为其瑕点.依定义求得12002211limlim(11)111uuxxxdxdxuxx(2)定理判别法（柯西收敛原理）瑕积分()bafxdx（瑕点为a）收敛的充要条件是：任给ε0，存在δ0，只要,uuaaδ12总有()()()bbuuuufxdxfxdxfxdx2121=0ε(3).比较法则设f(x)定义于(),ab，a为其瑕点，且在任何,,ubab上可积，如果lim()pxxafxλ09当,pλ10时，()afxdx收敛当p1，λ0时，()afxdx发散(4).柯西判别法设x=a是f(x)的瑕点，如果(),pcfxcpxa01那么()bafxdx绝对收敛；如果(),pcfxcpxa01那么()bafxdx发散例2.2讨论lnepdxxx10的敛散性（pR）解：x=0是其唯一奇点。当p01时，取,pqp112，则limlnqpxxxx