不定积分讲解

高等数学电子教案第四章不定积分第一节不定积分的概念和性质高等数学电子教案定义1设函数F(x)与f(x)都在区间I上有定义,如果对于任意的x∈I都有F’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数.例如x3是3x2在整个区间上的函数,-cosx是sinx的原函数一、原函数与不定积分的概念高等数学电子教案下面的问题是已知原函数的存在,怎样求?定理1若函数f(x)在区间I上连续,则它在I上存在原函数F(x),即对于任意的x∈I，都有F’(x)=f(x).例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续,它们都有原函数。高等数学电子教案定理2设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(x)+C也是f(x)的原函数.(2)f(x)的任意两个原函数之间仅相差一个常数.证明:(1)因为[F(x)+C]’=F’(x)=f(x).所以F(x)+C也是f(x)的原函数(2)设F(x)和G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数,由于[G(x)-F(x)]’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0所以G(x)-F(x)=C,G(x)=F(x)+C。这表示f(x)如果存在原函数,则所有的原函数只相差一个常数.高等数学电子教案定义2f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定积分,记作CxFdxxfdxxf)()()(∫称为积分号,f(x)为被积函数,f(x)dx为被积表达式,x为积分变量,C是积分常数注意:所有的原函数在图象上是相互平移的曲线,在同一点它们有相互平行的切线.如果要求原函数的曲线通过某一点,则此曲线对应的原函数是唯一的.高等数学电子教案例1求函数f(x)=3x2的不定积分.Cxdxxdxxf323)(例2:求21xdxCarctgxxdx21解:解:高等数学电子教案例3设曲线y=f(x)的切线斜率为2x,且曲线通过点(1,2).求此曲线方程.解:Cxxfxxfxxf22)(2)(.2)1(,2)(代入初值条件，得到2=1+C，C=2-1=1f(x)=x2+1高等数学电子教案[()]()()()fxdxfxdfxdxfxdx由此可见,微分和积分是互为逆运算.先算不定积分后求导,则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵消后相差一个常数.()()()()fxdxfxCdfxfxC高等数学电子教案例4下列各函数是同一函数的原函数吗?.cos21,2cos41,sin2122xxx分析:因为同一函数的原函数之差是一常数,我们有2221111sin(1cos)cos2222xxx221111cos2(2cos1)cos4424xxx22111sin,cos2,cos.242xxx是同一函数的原函数.高等数学电子教案所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致,但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数高等数学电子教案由于微分和积分是互为逆运算,所以把第二章中的基本微分公式逆写,就得到基本积分表。二、基本积分表3113:32312dxxxdxCCxx解例53dxx高等数学电子教案把被积函数展开成代数和的形式,然后再积分的情况是常用的方法.而被积函数都是幂函数又是不定积分中用得最多的.初学者往往容易出错.例如31223(1);2xdxxC1122(3)2xdxxC35225(2);2xdxxC高等数学电子教案(1)把求导和积分搞混了,(2)、(3)虽然分清求导和积分,但在系数,正负号的处理上有错误.对这类积分的计算应该先写出原函数中x的幂次(为原来的幂次加1)再把现在的幂次的倒数作为系数.例如CxCxdxx49)145(4534)94(33高等数学电子教案三、不定积分的性质性质1若函数f(x)与g(x)在区间I上的原函数都存在,则[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx性质2若函数f(x)在区间I上的原函数存在,实数k≠0,则)4(,)()(dxxfkdxxkf推论若fi(x)(i=1,2,...n)在公共区间I上都有原函数,且ki为常数,则11[()()nniiiiiikfxdxkfxdx高等数学电子教案例6设p(x)=a0+a1x+...+anxn,求∫p(x)dx解:01()(...)nnpxdxaaxaxdx例7223()axdx2110...21nnaaaxxxCn01..nnadxaxdxaxdx764325357xaxaxaxC642246(33)aaxaxxdx高等数学电子教案323xxarctgxC例8例9211(103sin)xxdxxx4211xdxx222(1)1xdxx1013cos2ln10xxxCx高等数学电子教案例103223tgxxxC例112(1)xdxxx2()tgxxdx12221coscosxdxxdxx3222sec3xdxx3112222423xxxC113222(2)xxxdx23221xxdxx高等数学电子教案例122(2seccsc)22xxdx例132(2)xxedx211142(2)2ln2ln212xxxeeC242(2)xxxdxedxedx21616sindxctgxCx224cossin22dxxx