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1立体几何解答题解题策略高考中，立体几何解答题一般有以下三大方向的考查。一、考查与垂直，平行有关的线面关系的证明；二、考查空间几何体的体积与表面积；三、考查异面角，线面角，二面角等角度问题。前两种考查多出现在第1问，第3种考查多出现在第2问；对于角度问题，一般有直接法与空间向量法两种求解方法。一、高考真题1、【2012高考真题浙江理20】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为32的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝62，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．2、【2012高考真题江西理20】（本题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=5，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。ABCOA1B1C123、（2011浙江高考）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2。（1）证明：AP⊥BC；（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。4、（2010浙江高考）在矩形ABCD中，点E、F分别在线段AB、AD上，AE=EB=AF=4，FD=6。沿直线EF将△AEF翻折成△A1EF，使平面A1EF⊥BEF。（1）求二面角A1-FD-C的余弦值；（2）点M、N分别在线段FD、BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A1重合，求线段FM的长。PABCDO3二、平行、垂直关系的证明。例1：已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1。求证：AC1⊥平面A1BC。垂直关系的证明所需定理：面面垂直线面垂直线线垂直ABCPABABCPAACPAABPA线线垂直线面垂直面面垂直BCPAABCPAABPAABCPAB分析要求：一方面由已知条件出发，组合出一些线面垂直。DCABCBCACBCDAABCDA111，另一方面，由要证明的目标出发，与条件中的垂直相结合，逆向推理。DCABCBCACBAACBCAAC111111一般地，一条直线垂直于两条直线，可以推出线面垂直；若题中有面面垂直，则需在其中一个平面内向交线作垂线，从而得到另一个平面的垂线。练习题组：1、如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，2PAPD，PB=2，E、F分别是BC、PC的中点。（1）证明：AD平面DEF；A1B1C1CBADPABECDF42、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点。求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD3、如图，四棱锥S-ABCD中，AB//CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1。（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；4、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点。（1）求证：FH//平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；5、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=22，∠PAB=60°。（1）证明：AD⊥平面PAB；PEFABCDPABCDEDABCFHSABCD5三、求角（线线角、线面角、二面角）。高考解答题中通常采用求线面角或二面角，可以应用第（1）小题中的垂直关系，一般要求先根据垂直作出所需角（线面角或二面角的平面角）。再通过计算得出角的大小。基本模式：线面角（直线与它在平面内的射影所成的角，因此需作出平面的垂线）。二面角（在两个半平面内分别作交线的两条垂线形成二面角的平面角，但若有一个平面的垂线，则只需由垂足向交线作垂线，再连线即可形成平面角。）例2：【2012高考真题四川理19】如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，平面PAB平面ABC。（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角BAPC的余弦值。分析：一、已知条件中的垂直关系分析：90APB、ABBCCA（等边三角形中的垂线）、平面PAB平面ABC（需要结合线线垂直转化为线面垂直）。二、目标分析：直线PC与平面ABC所成角，需要平面ABC的垂线；二面角BAPC中的二个平面APB与APC中需要一个平面有垂线，而已知条件中有提到平面APB。解：（1）作PQ⊥AB于Q，连CQ。—————（作图）ABCPQABCPABABPQ面面面————（证明）所以直线PC与平面ABC所成的角即为∠PCQ————（定角）令AB=2，在△PAB中，PQ=23，在△ABC中，CQ=213，所以sin∠PCQ=43——（计算）（2）取AB中点O，连CO、PO。过O作ORAP于R，连CR。———————（作图）CRAPCORAPAPORAPCOPABCOABCPABABCOABOCABCAB面面面中点为——（证明）所以二面角BAPC的平面角为∠CRO，———（定角）所以由CO=3，OR=23，得cos∠CRO=55。——（计算）。ABOAOBABDCOH线面角二面角的平面角平面的垂线的作法PACB61、如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，2PAPD，PB=2，E、F分别是BC、PC的中点。（1）证明：AD平面DEF；（2）求二面角P-AD-B的余弦值。2、如图，四棱锥S-ABCD中，AB//CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1。（1）证明：SD⊥平面SAB；（2）求AB与平面SBC所成角的大小。3、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点。（1）求证：FH//平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；（3）求二面角B-DE-C的大小。4、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=22，∠PAB=60°。（1）证明：AD⊥平面PAB；（2）求二面角P-BD-A的大小。PABECDFPABCDEDABCFHSABCD7四、平面翻折问题例3：如图，在Rt△ABC中，已知AB=1，∠ACB=30°，∠ABC=90°,D、E分别为AC、BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，二面角'ABDC的大小记为。⑴求证：平面'AEF平面BCD；⑵当'ABCD时,求sin的值；⑶在⑵的条件下，求点C到平面'ABD的距离。分析：平面翻折时总要形成一个二面角，因此在翻折前就准备好二面角的平面角，并且在后续问题中如何更好地应用这个二面角的平面角来解决题中的线面垂直问题是解题的关键。象此题中的设计则是完全按照这个方向进行的。因为是沿BD折起，所以AE与EF是与BD垂直的，在折起后，它们将组成二面角的平面角。而第（1）小题要证明的就是BD⊥面A′EF，从而推出平面'AEF平面BCD；第（2）小题是要把平面角所在的平面A′EF与BCD垂直这一性质作一应用。要使得'ABCD，只需A′B在底面BCD上的射影与CD垂直，因此需要过A′作直线EF的垂线A′O，连BO，则一定有BO⊥CD。第（3）小题则是把上面的性质再作更进一步的应用，我们需要平面'ABD的垂线，而从上可以看到也有平面A′EF⊥平面'ABD，所以只需由F点向A′E作垂线，即为平面'ABD的垂线，而点C到平面'ABD的距离则可以通过转化的方法来得到。最后，在弄清楚后，要计算所在的结果，我们也建议在原来的平面图形与立体图形相结合。简解：（1）BCDEFABDEFABDEFBDEA（2）过A′作A′O⊥EF于O，连BO。BOCDOBACDCDBACDOABCDOAEFOABCDEFA所以3OE=AE。又∠A′EF为二面角的平面角，所以sin=322。（3）过F作FH⊥A′E于H，BDAFHEAFHBDAEFABDEFA在△A′EF中，FH=183。又因为3BF=BC，所以点C到平面的距离为63。OOA′81、（2009浙江高考填空题）在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC。在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，求AK的长度的取值范围。2、如图，在Rt△ABC中，已知AC=BC=2，D、E分别是AC、AB的中点。将△ADE沿DE折起到△A1DE，使得二面角A-BC-E的大小为45°。（1）求A1B的长；（2）求二面角A1-BE-D的余弦值；（3）求点C到平面A1BE的距离。3、已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3，P是斜边AB上一点。现沿PC将此直角三角形折成直二面角A1-PC-B，当A1B=7时，求二面角P-A1C-B的正弦值。ABCDEFACBDEACBA1P