立体几何垂直讲义

1立体几何垂直讲义◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.1.线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.方法一正方形（菱形）的对角线互相垂直.1如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形,PA平面ABCD,点F为PC的中点.求证:BD平面PAC.方法二:等腰三角形（等边三角形）三线合一2（本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是菱形，，PA＝PB，∠ABC=60°，点E为棱AB的中点．求证：AB平面PCE；AFPDCBEFBACDP（第18题图）2DA1B1CBAC13如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，060BCD，E是CD的中点，PA底面ABCD，3PA。（I）证明：平面PBE平面PAB；方法三:勾股定理4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形．已知2AD，2PA，22PD，（Ⅰ）证明AD平面PAB；5如图,在直三棱柱111ABCABC中,3AC,4BC,5AB,14AA,点D是AB的中点.(1)求证:1ACBC;(2)求证:1AC∥平面1CDB.6、如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，60,45,~ABDBDCADPBAD。（1）求线段PD的长；（2）若11PCR，求三棱锥P-ABC的体积。PABCEDABCDP3.面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.7．如图，在四面体ABCD中，CB=CD,AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证：（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD．(面面垂直的性质定理)8如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO⊥平面ABCD;9．（本小题满分14分）已知S-ABC中，平面SAC⊥平面SBCSA⊥面ABC，求证：BC⊥AC．SDCBA4EDA1B1CBAC1立体几何垂直讲义1证明:PA平面ABCD,BD平面ABCD,PABD.……10分ABCD是菱形,ACBD.PAACA，BD平面PAC.3解：（I）如图所示,连结,BD由ABCD是菱形且060BCD知，BCD△是等边三角形.因为E是CD的中点，所以,BECD⊥又,ABCD//所以,BEAB⊥又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以,BEPA⊥而,ABAPA因此BE⊥平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.4（Ⅰ）证明：在PAD△中，由题设2PA，2AD，22PD，可得222PAADPD，于是ADPA．在矩形ABCD中，ADAB，又PAABA，所以AD平面PAB．5证明:(1)∵三棱柱111ABCABC为直三棱柱,∴1CC平面ABC,∴1CCAC,∵3AC,4BC,5AB,∴222ACBCAB,∴ACBC,又1CCBCC,∴AC平面11CCBB,∴1ACBC……………………………………7分(2)令1BC与1CB的交点为E,连结DE.∵D是AB的中点,E为1BC的中点,∴DE∥1AC.又∵1AC平面1CDB,DE平面1CDB,5∴1AC∥平面1CDB.………………………13分6、解：（1）∵BD是圆的直径∴∠BAD=90º又△ADP~△BAD∴R321R243R4)30sinBD()60sinBD(BAADDP,ADDPBAAD222（2）在Rt△BCD中，CD=BDcos45º=2R∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2∴PD⊥CD又∠PDA=90º∴PD⊥底面ABCDS△ABC=21AB×BCsin(60º+45º)=21R×2R22212223=413R2三棱锥P-ABC的体积为7．解（Ⅱ）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB=CD,F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD8（Ⅰ）证明：在△PAD中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.9证明：AD⊥SC于D，