立体几何平行证明问题讲义教师

1立体几何平行证明问题讲义（一）平行的问题一“线线平行”与“线面平行”的转化问题（一）中位线法：当直线上没有中点，平面内有一个中点的时候，(如例1求证：//PB平面AECP、B为顶点，平面AEC内E为中点）采用中位线法。具体做法：如例1，平面AEC的三个顶点，除中点E外，取AC的中点O，连接EO，再确定由直线PB和中点E、O、D确定的PBD（连接PBD的第三边BD），在PBD中，EO为PB的中位线。规范写法：//,,,//bbaba例1如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：//PB平面AEC；例2三棱柱111ABCABC中，D为AB边中点。求证：1AC∥平面1CDB；【习题巩固一】1.（2011天津文）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC中点M为PD中点．（Ⅰ）证明：PB//平面ACM；DCABPMOabC1B1A1DCBA22错误!未指定书签。．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.(1)证明:BC1//平面A1CD;2.（2011四川文）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．求证：PB1∥平面BDA1；（二）平行四边形法：当直线上有一个中点(如例1证明：FO//平面CDE；O为中点）采用平行四边形法。具体做法：FO先与E连接（原因是ECD的三个顶点E、C、D中只有E与已知平行条件EF//BC有关），再与ECD的另两个顶点CD的中点M相连，构成平行四边形FOEM（原因是EF//OM，EF=OM），从而FO//EM。规范写法（如图）：//,,,//,,//EHFGEHFGEHEFGHGHEFGHEF是平行四边形例1【天津高考】如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱//12EFBC．（1）证明：FO//平面CDE；3例2（2013年高考福建卷（文）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.若M为PA的中点,求证://DMPBC面;例3（2010陕西文）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；（II）若H是AD的中点，证明：EA∥平面PHC；【习题巩固二】1.【2010·北京文数】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF//AC，AB=2,CE=EF=1，（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；2.（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥PABCD中,,2ABCDABCD∥,E为PB的中点(Ⅰ)求证:CEPAD∥平面;43.（2012广东）如图5所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，//,ABCDPDAD，E是PB中点，F是DC上的点，且12DFAB，PH为PAD中AD边上的高。（3）证明：EF∥平面PAD．二.“线面平行”与“面面平行”的转化问题中截面法：当直线上有两个中点(如例1证明：MN∥平面11BCCB）采用中截面法，如例1只要做出平面11BCCB的中截面。具体做法：取AC中点P，连接MP、NP，则面MNP//平面11BCCB规范书写：Tep1:,,,//,////ababOab【如下图①】Obaa'b'OOba图①或者Tep1:,,,',',//',//'//ababOabaabb【如上图②】Tep2:////aa（面面平行线面平行）；例1三棱柱111ABCABC中，,MN分别是AB，1AC的中点．求证：MN∥平面11BCCB；NMC1B1A1CBA5例2（2013年辽宁卷（文））如图,.ABOPAOCO是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点(II)设//.QPAGAOCQGPBC为的中点，为的重心，求证：平面【习题巩固三】1．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，,EF分别为棱,ABPC的中点．⑵求证：EF∥平面PAD．FEDCBAP2．如图,长方体ABCD-1111DCBA中,M、N分别是AE、1CD的中点。（Ⅰ）求证：11//MNADDA平面；3.(2012辽宁文科）如图，直三棱柱///ABCABC，点,MN分别为/AB和//BC的中点。(Ⅰ)证明：MN∥平面//AACC;6立体几何经典题精选题重点复习题型篇（一）平行的问题参考答案一.“线线平行”与“线面平行”的转化问题（一）例1证明：连接BD，ACBD=O，连接EO,在PBD中，OD=OB，EO为PB的中位线，AECPB//AEC,,//面，面面又PBAECEOPBEO例2证明：连接OBCCBBC111,，连接OD,在AB1C中，1OCOB，OD为A1C的中位线，111111//,,//CDBACCDBACCDBODACOD面，面面又【习题巩固一】1.证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB//MO。因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB//平面ACM。2.证明：连接OACCAAC111,，连接OD,在AB1C中，1OCOA，OD为B1C的中位线，111111//,,//CDABCCDABCCDAODBCOD面，面面又3.连结AB1与BA1交于点O，连结OD，∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，∴OD∥PB1，又OD面BDA1，PB1面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．（二）例1证明：取CD的中点M，连接OM，EM，EF//OM，EF=OM，FOEM为平行四边形，从而FO//EM，CDEFOCDEFOCDEEM面，面面又//,例2证明：取PB中点N,连结MN,CN在PAB中,M是PA中点,∴MNAB,132MNAB,又CDAB,3CD∴MNCD,MNCD∴四边形MNCD为平行四边形,∴DMCN又DM平面PBC,CN平面PBC∴DM平面PBC例3证明：(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD平面PAD,EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.（II）连接FH，易证EAFH是平行四边形，所以EA//FH,从而得证。7【习题巩固二】1.证明：（Ⅰ）设AC，BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=1所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE2.证明：取PA中点M，连结MD，ME。因为E是PB的中点，所以1//2MEAB。因为CDAB21//，所以CEDM//，所以四边形MDCE是平行四边形，PDACEPDADMPDACEDMCE面，面面又//,,//3.证明：取PA中点M，连结MD，ME。因为E是PB的中点，所以1//2MEAB。因为1//2DFAB，所以//MEDF，所以四边形MEDF是平行四边形，PDAEFPDADMPDAEFDMEF面，面面又//,,//二.“线面平行”与“面面平行”的转化问题例1略例2连OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q为PA中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，BC∩PC＝C，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.【习题巩固三】1.思路：取PB的中点M，连接ME、EF，证明面MEF//面PAD2思路：取CD的中点Q，连接MQ、NQ，证明面MNQ//面AD11AD3.证明：取AB的中点为P，连结MP，NP，∵,MN分别为/AB和//BC的中点，∴MP∥AA,NP∥AC,∴MP∥面AACC,NP∥面AACC,∵MPNPP,∴面MPN∥面AACC，∵MN面AACC，∴MN∥面AACC.