机械振动5多自由度振动8瑞利商

第五章5.8瑞利商2在有些情况下，不需知道特征值问题的全部解，而只要估算n自由度保守系统：0KxxMnRx机械能守恒假设振动：)sin(tux动能与势能：xMxTT21KxxTV21最大值：uMuTT2max21uKuTV21maxmaxmaxVTuMuuKuTT2瑞利商)(uR这是基于能量原理的一种近似方法，系统的固有频率，特别是求出基频即可，这可用瑞利法。32)(uMuuKuuTTR瑞利商对于第i阶模态：2)()()()(iiTiiTiiRuMuuKuu)()(对于一般向量ψ（不是实际模态），总能展开为n个正则模态的线性组合：)()2(2)1(1nnaaauuuψ＋Tnaaa],,,[21a代入瑞利商：auMuaauKuaψTTTTR)(可以证明，和分别为瑞利商的极小值和极大值212n即：221)(nRψnjjja1)(uau],,,[)()2()1(nuuuuaIaΛaaTTnjjnjjjaa121224njjnjjjTTTTTTaaR12122)(IaaΛaaauMuaauKuaψ221)(nRψ分析：j1换为若将瑞利商右端分子内的所有是最低阶固有频率1由于因此：21121212)(njjnjjaaRψ21)(ψR由瑞利商公式知，当确为第一阶模态时，有：)1(uψ因此，瑞利商的极小值为21同理可证明，瑞利商的极大值为2n5221)(nRψkjnjaakjj,,,2,1，如果接近第k阶真实模态ψ)(ku比起ak，其它系数很小1j代入，得：1)(122212nkjjjkjnkjjjRψnjjkjk12222)(1)(1222122212nkjjjkknkjjjkjnkjjjnjjnjjjTTTTTTaaR12122)(IaaΛaaauMuaauKuaψ6kjjaanjjkjkR12222)()(ψ解释：例如k＝1njaajj,,21，222212222222121)(nnnaaaaaaRψnjjnjjjaaR12122)(ψ2222122123212221221232122222222211)()(nnnnn22222122222211)()1(nniiin22222122211)(nniiiniii2212221)(222222222211nnn21221222122122221222121aaaaaannn约去a1分子上加减1项7kjnjaakjj,,,2,1，1j代入，得：njjkjkR12222)()(ψ因此，若与的差异为一阶小量，则瑞利商与的差别为二阶小量。ψ)(ku2k对于基频的特殊情况，令k＝1，则由于瑞利商在基频处取极小值，)~2(0212njj利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。ψ221)(nRψ如果接近第k阶真实模态，ψ)(ku比起ak，其它系数很小njjnjjjTTTTTTaaR12122)(IaaΛaaauMuaauKuaψ8例5.8-1：三自由度系统（原例为三圆盘扭振）000220231012200010001321321xxxkxxxm解：若仅在2m质量上施加力P，各质点所产生的位移比为：5.2:2:1代入瑞利商公式：5.2212000100015.2215.2212202310125.221)(mkRTTψMψψKψψmmkk2m2k因此取近似的第一阶振型：T]5.221[ψmkmk142857.05.175.29直接求解特征值问题，得固有频率：mk/3730.01mk/3213.12mk/0286.23T]5.221[ψmkRTT142857.0)(ψMψψKψψmk377964.01与精确值相比，相对误差为：假设模态不同，误差不同。0131.0377964.03730.0377964.0%31.1误差仅1.31%。即这样选取假设模态，用瑞利商计算基频的精度是满意的。10作业：5.11