全等三角形知识总结及典型例题

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1全等三角形知识总结及典型例题知识点1:全等三角形的定义和表示方法(1)定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角(2)“全等”用“≌”表示,读作“全等于”,记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。例1.如图11.1-3所示,图中两个三角形能完全重合,下列写法正确的是()A.△ABE≌△AFBB.△ABE≌△ABFC.△ABE≌△FBAD.△ABE≌△FAB知识点2:全等三角形的性质性质:全等三角形中,对应边相等,对应角相等。【注意:全等三角形的对应线段(对应边上的中线,对应边上的高,对应角的平分线)相等;全等三角形的周长相等,面积相等。】例2.如图11.1-7,△ABD≌△ACE,点B和点C是对应顶点,AB=8,AD=6,BD=7,则BE的长是()A.1B.2C.4D.6例3.如图11.1-12,△ABD≌△EBC,AB=3cm,BC=4.5cm.(1)求DE的长;(2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由.(1)“边边边”(SSS):三边对应相等的两个三角形全等。(2)“边角边”(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(3)“角边角”(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(4)“角角边”(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(5)“斜边,直角边”(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。【注意:①三角形全等证明时要注意应用“公共边”、“公共角”、“对顶角”等。②证明线段或角相等通常转换证明线段或角所在的三角形全等。③在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等。④有两边和一角对应相等,角必须是这两边的夹角。⑤“HL”只适合于Rt⊿。⑥利用全等三角形可以测出不能(或不易)直接测量长度的线段长,例如,河宽,或利用全等测量小口瓶的内径等。】例4(SSS).(1)如图,点A、C、F、D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF求证:DEAB//(2)在ABC中,90C,D、E分别为AC、AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证:ABDEABEFACBDEEDABC2例5(SAS).(1)已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2。试说明:△ABD≌△ACE。(2)已知:如图,△ABC中,AD⊥BC于D,AD=BD,DC=DE,∠C=50°。求∠EBD的度数。例6(ASA).(1)已知:如图,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.F、C在直线BE上.求证:AB=DE,AC=DF.例7(AAS).已知:如图AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中点,连结CM并延长交BD于点F。求证:AC=BF.例8(HL).(1)如图,△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MN⊥AB。求证:AN平分∠BAC。(2)公路上A、B两站(视为直线上的两点)相距26km,C、D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=16km,BC=10km,现要在公路AB上建一个土特产收购站E,使CD两村庄到E站的距离相等,那么E站应建在距A站多远才合理?知识点4、角平分线的作法、性质、判定和辅助线1.尺规作图画角平分线①、以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于M,交OB于N。②、分别以M、N为圆心,大于MN21的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C。③、画射线OC。射线OC即为所求。【如图1】2.角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等。BA21NMCAEBCD┐┎3EFCBAD图形表示:若CD平分∠ADB,点P是CD上一点PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,则PE=PF【如图2】3.角平分线的判定定理:到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。图形表示:若PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,PE=PF,则PD平分∠ADB【如图3】4.角平分线常作的辅助线:遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线得到相等.图1图2图3例9(角平分线性质).(1)如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,则DE的长为_________cm.(2)已知:如图,AM是∠BAC的平分线,O是AM上一点,过点O分别作AB,AC的垂线,垂足为F,D,且分别交AC、AB于点G,E.求证:OE=OG.例10(角平分线判定).课本p52第7题例119(角平分线辅助线).课本p50第2题知识点3、全等三角形的判定MACBEOFDG

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