求函数的解析式

【本讲教育信息】一.教学内容：求函数的解析式二.学习目标1、会用待定系数法，换元法，配凑法，解方程组法等求二次函数解析式，在不同的求二次函数解析式的方法中体会数形结合思想。2、利用函数的性质解决实际问题，培养学生解决实际问题的能力。3、通过对函数图像的描述与研究，进一步研究函数的性质，以至于更好的研究函数的性质。4、通过师生、生生互动的教学过程，培养热爱数学的态度，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。三.知识要点求函数解析式的题型、方法有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：公式法、待定系数法、归纳法；（2）已知()fx求[()]fgx或已知[()]fgx求()fx：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()fx满足某个等式，这个等式除()fx外还有其他未知量，需构造另一个等式解方程组；（5）应用题求函数解析式常用方法有直接法、待定系数法等新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆【典型例题】一、待定系数法例1.（1）已知一次函数()fx满足(0)5f，图像过点(2,1)，求()fx；（2）已知二次函数()gx满足(1)1g，(1)5g，图像过原点，求()gx；（3）已知二次函数()hx与x轴的两交点为(2,0)，(3,0)，且(0)3h，求()hx；（4）已知二次函数()Fx，其图像的顶点是(1,2)，且经过原点，求()Fx.解：（1）由题意设()fxaxb，∵(0)5f且图像过点(2,1)，∴521bab25ab∴()25fxx.（2）由题意设2()gxaxbxc，∵(1)1g，(1)5g，且图像过原点，∴150abcabcc∴320abc∴2()32gxxx.（3）由题意设()(2)(3)hxaxx，又∵(0)3h，∴63a得12a∴211()322hxxx.（4）由题意设2()(1)2Fxax，又∵图像经过原点，∴(0)0F，∴20a得2a，∴2()24Fxxx.说明：①已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；②基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。例2.（1）已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x＋8，求f（x）;（2）设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf且)(xf＝0的两实根平方和为10，图像过点（0,3），求)(xf的解析式。（1）解：因为f（x）是一次函数,可设f（x）＝ax＋b.则f[f（x）]＝af（x）＋b＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋8∴892baba解之得23ba或43ba∴f（x）＝3x＋2或f（x）＝3x4（2）解：设)0()(2acbxaxxf,∵图像过点（0,3）,∴有f（0）＝c＝3,故c＝3；又∵f（x）满足)2()2(xfxf且)(xf＝0的两实根平方和为10，∴得对称轴x＝2且x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝10，即22ab且10622aab，∴a＝1，b＝－4，∴34)(2xxxf二、配凑法与换元法例3.（1）已知2()43fxxx，求(1)fx；（2）已知2(1)2fxxx，求()fx.解：（1）22(1)(1)4(1)32fxxxxx.（2）配凑法：2(1)(1)212fxxxx2(1)41xx2(1)4(1)3xx∴2()43fxxx.换元法：令1xt，则1xt，22()(1)2(1)43fttttt∴2()43fxxx.说明：①已知()fx的解析式，求[()]fgx时，用()gx代替x；②已知[()]fgx的解析式，求()fx时，常用配凑法或换元法。三、解方程组法例4.已知f（x）满足xxfxf3)1()(2，求)(xf；解：∵已知xxfxf3)1()(2①，将①中x换成x1得xxfxf3)()1(2②①2②得33()6fxxx，∴1()2fxxx新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆四、分段函数解析式例5.函数在闭区间[1,2]上的图像如下图所示，则求此函数的解析式。解：1(10)()1(02)2xxfxxx.五、实际应用问题例6.把长为a的铁丝折成矩形，设矩形的一边长为x，面积为s，求矩形面积s与一边长x的函数关系式。解：设矩形一边长为x，则另一边长为1(2)2ax，∴211(2)22sxaxxax（(0,)2ax）。说明：在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。本讲涉及的主要数学思想方法1、对于各种求函数解析式的方法，要注意相互之间的区别与联系，对于分段函数，要注重分类思想的应用。2、对于生活中的实际问题，要找到数学学习中的数学模型，进一步体会数学知识的应用。感受运用函数概念建立模型的过程和方法，初步运用函数的思想方法理解和处理其它学科与现实生活中的简单问题。3、注重数形结合思想的应用，以便更好地掌握数学知识，提高数学学习的能力。【模拟试题】（答题时间：15分钟）一、选择题1、已知f（xx11）＝2211xx，则f（x）的解析式可取为（）A.21xxB.－212xxC.212xxD.－21xx2、若f（sinx）＝2－cos2x，则f（cosx）等于（）A.2－sin2xB.2＋sin2xC.2－cos2xD.2＋cos2x3、已知(10)xfx，则(5)f（）A.510B.105C.lg10D.lg5*4、北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底将更新现有总车辆数的（参考数据：1.14＝1.46，1.15＝1.61）（）A.10%B.16.4%C.16.8%D.20%**5、函数y＝2211xx的值域是（）A.［－1，1］B.]1,1(C.[－1，1)D.（－1，1）6、已知函数f（x）＝2x,则f（1－x）的图像为（）二、填空题*7、已知2211()1fxxxx，则()fx＝8、已知2(3)21fxx，则()fx＝**9、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，摇匀后再倒出1升，再用水填满，这样持续进行，如果倒k次（k1）后共倒出纯酒精x升，倒第k＋1次后共倒出纯酒精f（x）升，则函数f（x）的表达式为。三、解答题*10、已知f（x）是一次函数,且f[f（x）]＝4x1,求f（x）的解析式。11、用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域。**12、函数y＝f（x）与y＝g（x）的图像如图所示，设F（x）＝f（x）g（x），求F（x）取得最大值时相应的x的值.【试题答案】一、选择题：1、解析：令xx11＝t，则x＝tt11，∴f（t）＝122tt。∴f（x）＝122xx。答案：C2、解析：∵f（sinx）＝2－（1－2sin2x）＝1＋2sin2x，∴f（cosx）＝f[sin（2π－x）]＝1＋2sin2（2π－x）＝1＋2cos2x＝2＋cos2x。答案：D3、D4、B5、B解法一：y＝2211xx＝212x－1。∵1＋x2≥1，∴0＜212x≤2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴－1＜y≤1。解法二：由y＝2211xx，得x2＝yy11。∵x2≥0，∴yy11≥0，解得－1＜y≤1。6、C二、填空题7、2()3fxx8、22()19fxx9、f（x）＝19x/20＋1（倒k次后剩余酒精为20x升）三、解答题10、解：设f（x）＝kx＋b则k（kx＋b）＋b＝4x1则3121)1(42bkbkk或12bk∴312)(xxf或12)(xxf11、解：∵AB＝2x，则＝πx，AD＝2π2xxl。∴y＝2x·2π2xxl＋2πx＝－（2π＋2）x2＋lx。由2π2,02xxlx＞0，解得0＜x＜2πl。12、解：2,[0,16)()1344,[16,24]8xxfxxx，1()10,[0,24]3gxxx1(2)10,[0,16)3()1314410,[16,24]83xxxFxxxx（）（）(）＝2212820,[0,16)3313371440,[16,24]2412xxxxxx当x∈)16,0[时，F（x）＝－21282033xx＝－13（x－14）2＋3256，当x＝14时，F（x）max＝2563当[16,24]x时，F（x）＝2133714402412xx，因为其对称轴－2ba＝1237124，故当x＝16时，F（x）max＝84，又因为842563，所以x＝14时，F（x）取得最大值。