《概率论与数理统计课件》-随机变量序列的收敛性

1第二节随机变量序列的收敛性2定义4.3.1设nX是一个随机变量序列，X是一个随机变量，如果对于任意的0，有0limXXPnn，（4.3.1）则称随机变量序列nX依概率收敛于随机变量X，记作XXPn，n．3注：依概率收敛的等价命题：设nX是一个随机变量序列，X是一个随机变量，如果对于任意的0，有1limXXPnn，则称随机变量序列nX依概率收敛于随机变量X．4我们知道任何一个随机变量都有分布函数，而且分布函数全面地描述了随机变量的统计规律．因此讨论一个分布函数序列xFn收敛到一个极限分布函数xF是有实际意义的．现在的问题是，如何定义分布函数序列xFn的收敛性？很自然，由于xFn是实变量函数序列，我们的一个猜想是：对所有的x，要求nxFxFn,．这就是数学分析中的点点收敛．然而遗憾的是，这样的要求有些太严格了．5例4.3.1设nX服从如下的退化分布：11nXPn，,2,1n．这样的nX,3,2,1n组成了一个随机变量序列nX．记xFn为随机变量nX的分布函数，则有nxnxxFn1110．6由于nxn1是函数xFn的跳跃型间断点，所以当n时，间断点001xnxn．那么，分布函数序列xFn是否会收敛于分布函数0100xxxF．但是我们看到，对于任意的n，00nF，所以00limnnF，然而10F，所以，0100limFFnn．7这表明，分布函数序列xFn并不点点收敛于分布函数xF．事实上，分布函数序列xFn点点收敛于xg：0100xxxg．但是xg并不是分布函数．本例告诉我们，要求分布函数序列xFn点点收敛于一个分布函数xF是有些太苛刻了．8再仔细分析本例，我们发现0x恰好是分布函数xF的间断点，而除了这个间断点外，分布函数序列xFn都是收敛于分布函数xF的．因此我们可以将分布函数序列xFn收敛于分布函数xF的定义修改成为如下定义：9定义4.3.2设nX是一个随机变量序列，X是一个随机变量，xFn是nX的分布函数，xF是X的分布函数，如果对于xF任意连续点x，有xFxFnnlim，（4.3.2）则称分布函数序列xFn弱收敛于分布函数xF，记作xFxFWnn．（4.3.3）此时也称随机变量序列nX依分布收敛于随机变量X，记作XXLn，n．（4.3.4）10注：以上定义的“弱收敛”是自然的，因为它比在每一点上都收敛的要求的确“弱”了些．如果xF是连续函数，则对于任意的x，有xFxFnnlim，此时分布函数序列xFn点点收敛于分布函数xF．11在上述定义中，对分布函数序列xFn称为弱收敛，而对其随机变量序列nX。则称为按分布收敛，这是在两种不同的场合给出的两个不同的名称，但是本质含义是一样的，都要求在xF的连续点上有（4.3.2）式．下面的定理说明了依概率收敛是一种比按分布收敛更强的收敛性．12定理4.3.2如果XXPn，则必有XXLn．13证明：设随机变量nX的分布函数为xFn，,3,2,1n；随机变量X的分布函数为xF．为证XXLn，只须证明：对所有的x，有0limlim0xFxFxFxFnnnn．因为如果上式成立，则当x是分布函数xF的连续点时，有00xFxF．因此有xFxFWn．14首先令xx，则由xXxXxXxXxXnn,,xxXXxXnn得xxXXPxXPxXPxFnnxxXXPxFnn15由于XXPn，所以当n时，有0xxXXPn，（因为0xx）．所以有xFxFnnlim．再令xx，得xFxFnnlim016同理可证，当xx时，有xFxFnnlim．再令xx，得0limxFxFnn．因此定理得证．17注：本定理的逆命题不成立，即如果XXLn，不能推出XXPn．见下例．18例4.3.2设随机变量X的分布列为211,211XXP．再令XXn，,3,2,1n．则随机变量nX与随机变量X有相同的分布函数，因此XXLn．19但是对于任意的20，由于12XPXXPn，即0limXXPnn，这表明nX并不依概率收敛于X．20以上的例子说明，一般按分布收敛与依概率收敛是不等价的．而下面的定理则说明：当极限随机变量为常数（服从退化分布）时，按分布收敛与依概率收敛是等价的．21定理4.3.3若C为常数，则CXPn的充要条件是CXLn．22证明：必要性已由定理4.3.2给出，下证充分性．记随机变量nX的分布函数为xFn．而常数CX（退化分布）的分布函数为CxCxxF10．23所以对于任意的0，有CXPCXPCXPnnnCFCFCXPCXPnnnn212．由于2Cx与Cx都是分布函数xF的连续点，并且由于xFxFWn，24所以，122limCFCFnn，0limCFCFnn．因此，001121limlim0CFCFCXPnnnnn，即0limCXPnn．这表明：CXPn．定理证毕．25三．判断弱收敛的方法26分布函数序列的弱收敛是一个非常有用的概念，它可以帮助我们寻求一个随机变量序列的极限分布．但是判断一个分布函数序列是否弱收敛于一个分布函数，有时是很麻烦的，这时我们可以利用特征函数这一工具．为此我们首先要研究分布函数序列的弱收敛与相应的的特征函数序列的收敛之间有什么关系？下面定理指出这两种收敛实际上是等价的．27定理4.3.4设随机变量nX的分布函数是xFn，特征函数为tn；随机变量X的分布函数是xF，特征函数为t．则分布函数序列xFn弱收敛于分布函数xF的充分必要条件是特征函数序列tn收敛于t．28这个定理的证明只涉及数学分析的一些结果，而且证明比较冗长（参阅文献[1]），在此就不介绍了．通常把以上定理称为特征函数的连续性定理，因为它表明分布函数与特征函数的一一对应关系有连续性．29例4.3.3如果随机变量X服从参数为的Poisson分布，证明：xtdtexXP2221lim．30证明：由于随机变量X服从参数为的Poisson分布，所以X的特征函数为1expitet．所以，XXY的特征函数为tietetgtiti1exp．31而由Taylor公式，有1212otiteti，．所以，tiotittieti112112121222ottiotti，．32所以，12exp1exp2ottietgti，．所以，2exp12explimlim22tottg．由于2exp2t是正态分布的特征函数，所以由逆极限定理，知xtdtexXP2221lim．33例设nX是独立同分布的随机变量序列，1X的分布列为1X11P2121又随机变量Y服从区间1,1上的均匀分布．⑴写出随机变量Y的特征函数t；⑵写出随机变量nkkknXY12的特征函数tn；⑶证明：当n时，随机变量序列nY依分布收敛于随机变量Y．34解：⑴由于随机变量Y服从区间1,1上的均匀分布，因此Y的特征函数为ttittittititeetititsin2sincossincos2．35⑵1X的特征函数为ttittiteetititcossincossincos2121210，所以，随机变量nkkknXY12的特征函数为nnnkknkknttttttt2cos2cos2cos2cos2cos212110．36⑶由于nnnttttt2cos2cos2cos2cos12nnnnnnnttttttttttt2sin22sin2cos2cos2cos2sin2sin2cos2cos2cos2cos11212nnnnnnntttttttttt2sin2sin2sin22sin2cos2sin22sin2cos2cos2cos1222237tttttttnnsinsin2sin2，n．即当n时，随机变量nkkknXY12的特征函数tn收敛于随机变量Y的特征函数t，因此，随机变量nkkknXY12的分布函数若收敛于Y的分布函数，即随机变量序列nY依分布收敛于随机变量．