江苏省泰州市姜堰区2019届高三上学期期中考试-数学

·1·2019～2019学年度第一学期期中考试高三数学试题(考试时间：120分钟总分160分)命题人：王鸿、王光华审题人：孟太、朱善宏注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合{1,0,1},{012}AB,,，则BA▲．2．已知角的终边经过点(4,3)P，则sin的值是▲．3.若等差数列{}na的前5项和525S，且23a，则7a▲．4．曲线2lnyxx在点（1，2）处的切线方程是▲．5．将函数()2sin2fxx的图象上每一点向右平移6个单位，得函数()ygx的图象，则()gx=▲．6．在平面直角坐标系xOy中，直线023yx与圆522yx相交于两点BA，，则线段AB的长度为▲.7.不等式222log(4)log(3)xx的解集为▲.8.已知2sin(45)10，且090，则cos2的值为▲．9.在ABC中，“6A”是“1sin2A”的▲条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）10．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD交于点F，则FDDEuuuruuur▲．11．设1m，已知在约束条件1yxymxxy下，目标函数22zxy的最大值为32，则实数m的值为▲.（第10题图）FEDCBA·2·12．已知等比数列na的首项211a，其前四项恰是方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根，则nm▲.13．已知圆C：4)2(22yx，点P在直线l：2xy上，若圆C上存在两点A、B使得PBPA3，则点P的横坐标的取值范围是▲．14.已知两条平行直线1l：my和2l：31ym（这里0m），且直线1l与函数2logyx的图像从左至右相交于点A、B，直线2l与函数8logyx的图像从左至右相交于C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b，则当m变化时，ba的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinsinsinBAC．（Ⅰ）求2acb的值；（Ⅱ）若2b，且32BABC，求BCBA的值．16．设aR，函数32211()(21)()32fxxaxaax．（Ⅰ）已知()fx是()fx的导函数，且()()(0)fxgxxx为奇函数，求a的值；（Ⅱ）若函数()fx在2x处取得极小值，求函数)(xf的单调递增区间。·3·17．某小区想利用一矩形空地ABCD建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60ADm，40ABm，且EFG中，90EGF，经测量得到10,20AEmEFm．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一条直线交ABDF、于NM、，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场．（Ⅰ）假设()DNxm，试将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数，并注明函数的定义域；（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．18.已知圆M：2244xy，点P是直线l：20xy上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；（Ⅱ）若PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．ABCDEFMNG第17题·4·19.若数列nb满足：对于Nn，都有2nnbbd（d为常数），则称数列nb是公差为d的“隔项等差”数列．（Ⅰ）若17,321cc，nc是公差为8的“隔项等差”数列，求nc的前15项之和；（Ⅱ）设数列na满足：1aa，对于Nn，都有12nnaan．①求证：数列na为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列na的前n项和为nS，试研究：是否存在实数a，使得22122kkkSSS、、成等比数列（*Nk）?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．20.已知函数||1221(),()()4162xmmxfxfxx，其中.mR（Ⅰ）若2m，试判断函数12()()()([2,))fxfxfxx的单调性，并说明理由；（Ⅱ）设函数12(),2()(),2fxxgxfxx，若对任意的12,x，总存在唯一的实数2,2x，使得12()()gxgx成立，试确定实数m的取值范围.·5·高三数学期中试题（教师版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合{1,0,1},{012}AB,,，则BA▲．答案：10，2．已知角的终边经过点(4,3)P，则sin的值是▲．答案：353.若等差数列{}na的前5项和525S，且23a，则7a▲．答案：134．曲线2lnyxx在点（1，2）处的切线方程是▲．答案：10xy5．将函数()2sin2fxx的图象上每一点向右平移6个单位，得函数()ygx的图象，则()gx=▲．答案：π2sin23x6．在平面直角坐标系xOy中，直线023yx与圆522yx相交于两点BA，，则线段AB的长度为▲.答案：47.不等式222log(4)log(3)xx的解集为▲.答案：1,0·6·8.已知2sin(45)10，且090，则cos2的值为▲．答案：7259.在ABC中，“6A”是“1sin2A”的▲条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）答案：必要不充分10．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD交于点F，则FDDEuuuruuur▲．答案：32（第10题图）11．设1m，已知在约束条件1yxymxxy下，目标函数22zxy的最大值为32，则实数m的值为▲.答案：3212．已知等比数列na的首项211a，其前四项恰是方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根，则nm▲.答案：21513．已知圆C：4)2(22yx，点P在直线l：2xy上，若圆C上存在两点A、B使得PBPA3，则点P的横坐标的取值范围是▲．答案：2,214.已知两条平行直线1l：my和2l：31ym（这里0m），且直线1l与函数2logyx的图FEDCBA·7·像从左至右相交于点A、B，直线2l与函数8logyx的图像从左至右相交于C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b，则当m变化时，ba的最小值为▲．答案：32二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinsinsinBAC．（Ⅰ）求2acb的值；（Ⅱ）若2b，且32BABC，求BCBA的值．解：（Ⅰ）因为2sinsinsinBAC，由正弦定理得2bac，所以20acb……………………………4分（Ⅱ）因为acb2，2b，所以22b，2ac所以3cos2BABCcaB，由余弦定理得2222cosbacacB，所以225ac．……………………………8分所以2222222cos8BCBAacBCBAacacB即22BCBA……………………………14分16．设aR，函数32211()(21)()32fxxaxaax．（Ⅰ）已知()fx是()fx的导函数，且()()(0)fxgxxx为奇函数，求a的值；（Ⅱ）若函数()fx在2x处取得极小值，求函数)(xf的单调递增区间。解：（Ⅰ）22()(21)()fxxaxaa，……………………………2分故2()()(21),0fxaagxxaxxx，()()(0)fxgxxx为奇函数，0,()()0xgxgx，即210,a12a；……………………………6分·8·NTMHGFEDCBA（Ⅱ）22()(21)()fxxaxaa()[(1)]xaxa列表如下：x(,)a(,1)aa(1,)a()fx……………………………9分()fx在1xa处取得极小值，在xa处取得极大值，由题设12a，1a；……………………………12分所以函数的递增区间为),2(),1,(……………………………14分17．某小区想利用一矩形空地ABCD建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60ADm，40ABm，且EFG中，90EGF，经测量得到10,20AEmEFm．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一条直线交ABDF、于NM、，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场．（Ⅰ）假设()DNxm，试将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数，并注明函数的定义域；（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．解：（Ⅰ）作GH⊥EF，垂足为H，因为DNx，所以40,60NHxNAx，因为,NHNAHGAM所以406010xxAM，所以6001040xAMx………………2分过M作//MTBC交CD于T，则MBCDWMBCTMTDNSSS1(40)60(60)2AMxAM，所以600101(60)(60010)(40)6040240xxxyxxABCDEFMNG第17题·9·xx4060524002………………………7分由于N与F重合时，30AMAF适合条件，故0,30x,…………………………8分（Ⅱ）404040040524004060524002xxxxy，…………………10分所以当且仅当xx4040040，即30,020x时，y取得最大值2000，……13分答：当20DNm时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为22000m．…………14分18.已知圆M：2244xy，点P是直线l：20xy上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；（Ⅱ）若PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°,所以MP＝22220244bbAMAP，解得580bb或所以168(0,0)(,)55PP或……………………………4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：222244424bbbxby即22(24)40xybxyy由2224040xyxyy，……………………………7分·10·解得04xy或8545xy