第四章轴向拉压杆的应力及变形

4.3应力.拉压杆内的应力4.4轴向拉（压）杆的变形.胡克定律第四章轴向拉压杆的应力及变形4.1材料力学的基本假设及基本概念4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图4.5拉压超静定问题在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体（deformablebody），而构件一般均由固体材料制成，故构件一般都是变形固体。变形不等效力的平移定理力的可传性4.1材料力学的基本假设及基本概念4.1.1材料力学的研究对象静力学中，力为滑移矢量，力偶矩矢为自由矢。材料力学中，力与力偶矩矢均不能自由平移（不再接受刚体假设）4.1材料力学的基本假设及基本概念材料力学研究的变形固体主要是杆件：一个方向（长度方向或纵向）的尺寸远大于其它两个方向（横向）的尺寸的构件。主要几何特征：横截面和轴线。（等截面杆，变截面杆；直杆和曲杆）。图4-1拉压杆实例（a）斜拉桥（b）建筑物的立柱4.1.2材料力学的任务材料力学是研究构件的强度、刚度和稳定性的科学。1、强度是指构件在荷载作用下，抵抗破坏的能力。2、刚度是指构件在荷载作用下抵抗变形的能力，也即变形或位移不超过工程允许范围的能力。3、稳定性是指构件保持其原有平衡状态的能力，也即其平衡形式不发生突然转变的能力。美国纽约马尔克大桥坍塌强度不足破坏刚度不足破坏稳定性不足破坏4.1.3基本假设可变形固体的变形与材料有关。为研究方便，采用下述假设：材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。这样的材料称为各向同性材料。使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化。物体整个体积内都毫无空隙地充满着物质，是密实、连续分布的，且任何部分都具有相同的性质。•可取任一部分研究。其研究的表述特征具有代表性；•变形前后不存在“空隙”或“重叠”。2)各向同性假设isotropyassumption1)均匀连续性假设assumptionofcontinuityandhomogeneity若存在两个垂直方向有不同的力学性能的材料称为正交各向异性材料。3)小变形假设Smalldeformationstheory假设受力构件相对于其原始尺寸非常微小，变形后尺寸改变的影响可以忽略不计。基于此，固体力学研究的最基本问题是：均匀连续介质、各向同性材料、小变形问题。上述假设，建立了一个最简单的可变形固体的理想化模型。三角杆架在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算而不会产生大的误差。（小变形问题）4.1.4外力与内力2）内力是指外力作用引起构件内部的附加相互作用力。1）外力是指研究构件受到的荷载和约束反力。按作用方式体积力（惯性力、自重力、电磁力）面力（风力、物体间接触力）分布力集中力按作用性质静荷载：指荷载缓慢地由零增加到一定值，以后保持不变或变动量可忽略。动荷载：指大小或方向随时间而变化的荷载。内力是物体内相邻部分之间分布力系的合力，这种附加相互作用力存在于构件内部的任意部位与其连接部分之间。当外力变化时，内力也产生变化。在一般情况下，内力随外力的增长而增大；当内力达到某一限度时将引起构件破坏。4.1.5杆件变形的基本形式(1)Axialtensionandcompression轴向拉伸与压缩FFFF在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件发生长度的改变（伸长或缩短）。(2)Shear剪切在大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆件轴线的两组力作用下，被剪杆件横截面相邻两边产生相对错位。（横截面变小）（横截面变大）(4)bending弯曲在横向力或一对方向相反、位于杆轴线的纵向平面内的外力偶作用下，杆件将在纵向平面内发生弯曲，即杆件的轴线由直线变为曲线。ΔΔΔΔΔΔmmOBA(3)torsion扭转在一对大小相等、方向相反、位于垂直杆轴线的两平面内的外力偶作用下，杆的任意两横截面绕轴线发生相对转动。截面法(sectionmethod)用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程确定截面上内力的方法，称为截面法。内力分布在截面上,可向截面形心简化，内力一般可表示为六个，由平衡方程确定。处于平衡状态的物体，其任一部分也必然处于平衡状态。必须截开物体，内力才能显示。ACFxMxFyFzMyMzF1F2ACF1F2MF1F2F3CBA4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图PPmmmmPFNx∑X=0:-FN+P=0soFN=P（tensileforce）轴力FNRemaintheleftpartaftercuttingisalsoOK.(1)Cut(截开):用一假想的截面m-m在需求内力处将构件截开为两部分。(2)Substitute（替代）:任取其中一部分为研究对象，弃去另一部分，将弃去部分对保留部分的作用以截面上的内力来代替。(3)Equilibrium（平衡）:列平衡方程（投影）。截面法求拉压杆内力的步骤对轴力的符号作如下规定：拉为正，压为负。引起轴向拉伸变形的轴力为正(拉力)引起轴向压缩变形的轴力为负(压力)注：用截面法求轴力时，无论保留哪部分，都统一先假定截面内力为拉力！(1)求AB段的内力∑X=0:-20+FN1=0SoFN1=20kN(tensileforce)SoFNAB=FN1=20kN(tensileforce)Examples2)保留左段，将右段对左段的作用以轴力FN1来代替（设拉力）3)列平衡方程如下：Given:ADelementisloadedasFig.Tofind:theaxialforceatanycrosssectionintheADelement.Solution:1)在AB段内任一截面处用1-1截面截开1120kN40kN10kNABCDFN120kN11x如何分段？—将集中力作用处为分段点!再在每段内选取截面求轴力！1)在BC段任一截面处用2-2截面截开2)保留左段，将右段对左段的作用以轴力FN2来代替(2)求BC段的内力∑X=0:-20+40+FN2=0FN2=-20kN（compressiveforce）SoFNBC=FN2=-20kN（compressiveforce）x2220kN40kNABFN220kN40kN10kNABCD11223)写平衡方程如下：1)在CD段任一截面处用3-3截面截开(3)求CD段的内力2)保留左段，将右段对左段的作用以轴力FN3来代替3)写平衡方程如下：∑X=0:-20+40-10+FN3=0FN3=-10kN(compressiveforce)SoFNCD=FN3=-10kN(compressiveforce)20kN40kN10kNABC33FN3x2220kN40kN10kNABCD1133注意:也可保留右段研究，但一定要注意要先求D处的约束反力。表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线——轴力图Axialforcediagram轴力图FN/kNxo20kN40kN10kNABCD202010FN/kNx+-轴力图坐标原点在左侧，x轴方向向右！轴力图突变的位置对应有集中力作用！否则轴力图不会突变！截面法求得：FNAB=-20kNFNBC=20kNFNCD=10kN注意:1)轴力图应从左向右画在载荷图下方对应位置上;2)标注正负号、单位和特征值;3)阴影线垂直于横坐标,不是斜线。20kN40kN10kNABCD202010FN/kNx+-202010FN/kNx+-×轴力图意义:1.反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；2.确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置；3.特点：封闭图形突变值=集中载荷大小（突变的方向？请同学们思考！）沿着从左到右的顺序，遇到向左的集中力则轴力图向上突变，遇到向右的集中力则向下突变！其余部分均为水平线！Given:F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;Pleasedrawtheaxialforcediagram.F1=10kNF3=35kNF2=20kNF4=25kNABCDkNFN/x102510+-+任一横截面上的轴力等于保留段上所有外力在轴线上投影的代数和。关于代数符号的规定如下：若保留段是左段，则向左的轴向外力为正，向右的为负。若保留段是右段，则向右的轴向外力为正，向左的为负；（左左正、右右正）iiNFF由平衡方程可得：解：各段轴力，FNAB=F1=10kNFNBC=F1-F2=-10kNFNCD=F1-F2+F3=25kN引起纵向伸长变形的轴力为正，引起纵向缩短变形的轴力为负。Pleasedrawtheaxialforcediagram.30kN20kN30kNADEBCSolution:402010FN/kNx注意轴力图的要求：1.数值、单位2.正负号3.阴影线与轴线垂直则：FNDE=-20kNFNCD=30-20=10kNFNBC=30-20=10kNFNAB=30+30-20=40kNiiNFF采用截面法保留右端：C处虽然截面面积有变化，但由于该处没有集中力作用，所以轴力图不会发生突变！2PP2P5PABCEDPleasedrawtheaxialforcediagram.ladderbar阶梯杆2P3PPFNx直接画法：由左至右画，遇到向左的集中力则轴力图向上突变；遇到向右的集中力则轴力图向下突变；突变值等于集中力的大小。其它为水平线，最终形成一个封闭图形。轴力图中有突变的地方一定对应有集中力作用！（检验）轴力图简捷画法用简捷画法作出轴力图ABCDF1=40kNlllF2=8kN48kNDCBA4840FN/kN+iiNFF解题步骤：1）求各段轴力：2）做轴力图3）用简捷画法检验(左上右下）一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到：dAdFAFlimp0A应力总量P可以分解:垂直于截面的分量σ－－正应力(normalstress)平行于截面的分量τ－－剪应力或切应力(shearingstress)。A4F3FFC4F3FpCAFp平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度：轴力是杆横截面上分布内力系的合力，若要判断杆是否会因强度不足而破坏，还必须知道分布内力集度的大小，杆件横截面上分布内力集度称为应力（stress）。4.3应力、拉压杆内的应力4.3.1应力的概念4F3FpC应力单位:Pa1N/m2=1Pa（帕斯卡）1MPa=106Pa1GPa=109Pa应力具有以下特征：应力定义在受力构件的某一截面上的某一点处；应力是矢量。对于正应力，规定离开截面的正应力（拉应力）为正，指向截面的正应力（压应力）为负；整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成，为该截面上的内力。（在具体计算中通常各物理量采用国际单位制，最后再进行换算!）Beforeloading4.3.2轴向拉（压）杆横截面上的应力2、平面假设PlaneAssumption:变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。abcdAfterloadingPPd´a´c´b´由平面假设可以推断，拉杆所有纵向纤维的伸长相等。根据材料均匀性假设，每根纵向纤维受力相同，所以横截面上的内力是均匀分布的，即横截面上各点处正应力相等。1、观察变形验证平面假设的正确性3、横截面上应力分布受拉力P作用均匀性假设连续性假设计算机模拟横截面上正应力的分布ANdAFAANdAFAFNAdxFN4、横截面上应力公式正应力符号规定:单位:FN牛顿(N)A平方米(m2)帕斯卡(pa)1MPa=106Pa1GPa=109Pa当FN为拉力时，为拉应力（正值），当FN为压力时，为压应力（负值）．AFmaxN,max最大应力所在截面称为危险截面，危险截面上的应力称为最大工作应力。当等直杆受几个轴向外力作用时，杆内最大正应力应为：例：一变截面圆钢杆ABCD，如图。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN，d1=20mm，d2=30mm，d3=35mm，试求：杆的最大工作应力。解：(1)先计算各段轴力画轴力图。(2)求最大正应力MPaMPaMPaNNNNNN052103510504dF4AF221103010154dF4A