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第1页共10页全等三角形一、目标认知学习目标：1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。重点：1.使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；2.三角形全等的性质和条件。难点：1.掌握用综合法证明的格式；2.选用合适的条件证明两个三角形全等经典例题透析类型一：全等三角形性质的应用1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.第2页共10页举一反三：【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。【变式2】如右图，，。求证：AE∥CF【答案】∴AE∥CF2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。解析：在ΔABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B，又∠A=30°，∠B=50°，所以∠ACB=100°.又因为ΔABC≌ΔDEF，所以∠ACB=∠DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以∠DFE=100°EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，第3页共10页∠ACB=90°.求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.【答案】(1）因为ΔACD≌ΔECD，所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.所以CD⊥AB.(2）因为ΔCEF≌ΔBEF,所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）.因为∠CFE+∠BFE=180°，所以∠CFE=∠BFE=90°.因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.所以EF∥AC.类型二：全等三角形的证明3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE．思路点拨:欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得解析：∵AC＝BD(已知)∴AB-BD＝AB-AC(等式性质)即AD＝BC在△ADF与△BCE中∴△ADF≌△BCE(SAS)总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC【答案】∵AB∥CD第4页共10页∴∠3＝∠4在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB(SAS)∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．求证AF＝DE．【答案】∵EB⊥AD(已知)∴∠EBD＝90°(垂直定义)同理可证∠FCA＝90°∴∠EBD＝∠FCA∵AB＝CD，BC＝BC∴AC＝AB+BC＝BC+CD＝BD在△ACF和△DBE中∴△ACF≌△DBE(S．A．S)∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用4、如图，AD为ΔABC的中线。求证：AB+AC2AD.思路点拨:要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE因为AD为ΔABC的中线，所以BD=CD.在ΔACD和ΔEBD中，第5页共10页所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).所以BE=CA.在ΔABE中，AB+BEAE，所以AB+AC2AD.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD=2CE.【答案】分别延长CE、BA交于F.因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.在ΔBEF和ΔBEC中，所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).所以CE=FE=CF.又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.所以∠BDA=∠BFC.在ΔABD和ΔACF中，所以ΔABD≌ΔACF(AAS)所以BD=CF.所以BD=2CE.5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF思路点拨:(1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)第6页共10页由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．解析：(1)在△ABE与△CDF中∴△ABE≌△CDF(SAS)∴AE＝CF(全等三角形对应边相等)(2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等)∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行)(3)在△AEF与△CFE中∴△AEF≌△CFE(SAS)∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证AF＝AG．【答案】在△AGE与△BCE中∴△AGE≌△BCE(SAS)∴AG＝BC(全等三角形对应边相等)第7页共10页在△AFD与△CBD中∴△AFD≌△CBD(SAS)∴AF＝CB(全等三角形对应边相等)∴AF＝AG(等量代换)6、如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．思路点拨:若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．解析：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD=AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．第8页共10页已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′且AD=A′D′求证：△ABC≌△A′B′C′证明：在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′(HL)∴∠B=∠B′(全等三角形对应角相等)在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°求证：OC=OD【答案】∵∠C=∠D=90°∴△ABD、△ACB为直角三角形在Rt△ABD和Rt△ABC中∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL)∴AD=BC在△AOD和△BOC中∴△AOD≌△BOC(AAS)第9页共10页∴OD=OC．7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G..试判断：猜测线段DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析：结论：DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟）作DM⊥CG于M∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG∴四边形EDMG是矩形DE=GMDM//AB∴∠MDC=∠B∵AB=AC∴∠B=∠FCD∴∠MDC=∠FCD而DM⊥CG，DF⊥AC∴∠DMC=∠CFD在⊿MDC和⊿FCD中∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS）MC=DF∴DE+DF=GM+MC=CG总结升华：方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略）第10页共10页总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明举一反三：【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法