平面向量的减法和数乘

向量的减法运算)+=+++=++abba(ab)ca(bc（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考：如设,,xyRxy()xy实数的相反数记作。aa如何定义向量的减法运算呢？向量的减法运算及其几何意义回顾：一、相反向量：规定：设向量，我们把与长度相同，方向相反aa的向量叫做的相反向量。a（1）()a（3）设互为相反向量，那么,ab,,0abbaab2.2.2向量的减法运算及其几何意义记作：a的相反向量仍是。00二、向量的减法：()abab（2）()aa()aaa00BACab设,ABbACaDEb()AEab又bBCa所以BCabababab你能利用我们学过的向量的加法法则作出吗？()ab不借助向量的加法法则你能直接作出吗？ab三、几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量baba（1）如果从的终点指向终点作向量，所得向量是什么呢？ab（2）当，共线时，怎样作呢？ababABOABOaOAbOBabBA注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。ba一般地abBabbAO（三角形法则）a练习：(1)ABAD(3)BCBA(2)BABC(4)ODOA(5)OAOBDBCAACADBA已知向量，求作向量，。ab例3,,,abcdcdabcdOBACDabdc作法：在平面内任取一点O，,OAa,OBb,OCc,ODd则BAabDCcd作注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。abcd练习：ab已知向量，求作向量。ab,ab（1）（2）ab（3）（4）abbaabababab例4在ABCD中，,ABa,ADb你能用表示吗？,ACDBDBACabACabDBab,abab变式本例中，当满足什么条件时，与互相垂直？,ababab向量的数乘运算aaaABCOaaaa3BCABOAOC记作aaaaMNQMPQPN3)()()(记作a已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)-a-a-aPQMNaaaa333的方向相同与aaaa333的方向相反与一、向量的数乘运算的定义：,aa实数与向量的积是一个确定的向量，记为1;aa其方向和长度规定如下：（）20,0,00.aaaaa（）当与的方向相同；当的方向与的方向相反；当，注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。a)2(3a)2(3aa6=abbaba22a2b2baba22)(2三、向量的数乘运算满足如下运算律：)();()1(2)(3);().aaaaaabab，是实数，）（（aaabab特别地:（）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算例1：计算下列各式a4)3)(1(ababa)(2)(3)2(a12b5)23()32)(3(cbacbacba25))(())()(4(2121bcttbcttctbt2122例2.如图：已知，，试判断与是否共线．ABAD3BCDE3ACAEBCAB33BCAB3AC3∴与共线．AEACDEADAE解：ADECB向量与非零向量共线有且仅有一个实数，使得．baba定理例3：如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。31ADBCMN提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+b6131MC=…=a+b21向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。二、几何意义（起点相同，由减向量的终点指向被减向量的终点）。课堂小结：二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线向量的数乘