2.2离散型随机变量的概率分布(分布律)

概率统计2019/10/28北邮概率统计课件一、离散型随机变量的分布律二、常见离散型随机变量的概率分布三、小结第二节离散型随机变量及其分布律概率统计一.离散型随机变量的分布律引例如图中所示，从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为：3335C1P{X0}C10213235CC6P{X1}C10123235CC3P{X2}C10第二节离散型随机变量的概率分布（分布律）且：iPXi20{}1概率统计设离散型随机变量X所有可能取的值为kXx的概率为:{}1,2kkPXxpk则称{}kkPXxp为离散型随机变量X的概率分布或分布律.注:分布律可以列表给出XkP12nxxx12nppp1.定义:其各个可能取值即事件,kx1,2k概率统计2.性质(1).0,1,2kpk1(2).1kkp用这两条性质判断一个函数是否是概率函数注一般：求分布律时需验证这两条性质。若成立则称得上是分布律，否则说明分布律求错.▲具有离散型随机变量才具有分布律▲概率统计X的可能取值:0,1,2.X的各种可能取值的概率如下:3013231522{0}35CCPXC2113231512{1}35CCPXC121323151{2}35CCPXC解:设在15只同类型的零件中有两只次品，现从中抽取3只，以X表示取出3只中所含次品的个数.求:X的分布律.例1.概率统计XkP01222121353535图形:kxkp13512352235012亦称概率分布图所以其分布律为：(显然每个)1,020kkkPP概率统计某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求：他两次独立投篮投中次数X的概率分布.X可能取值为0、1、2P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81且P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1从中抽取3只，求次品数不大于1只的概率有多大？思考题：{1}{0}{1}PXPXPX22123535答案：例2.解：则：故得其分布律为：XkP0120.010.180.81概率统计一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求：X的概率分布.依题意,X可取值0,1,2,3例3.解:Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设路口3路口2路口1则：P{X=0}=P(A1)=1/2概率统计路口3路口1路口2P{X=1}=1122=1/412()PAA路口2路口3路口1123P()AAAP{X=2}=111222=1/8概率统计路口1路口2路口3=1/8P(X=3)=111222123()PAAAXkP012311112488于是得其分布律为：30()1iPXi显然，概率统计2019/10/28例2已知随机变量的分布率为X1(),1,2,,3kPXkaka求常数概率统计二.几种常见的离散型随机变量的分布1.(01)分布若随机变量X只能取0与1两个值,它的分布律为:(1){}(1)0,1.01kkPXkppkp则称X服从(0--1)分布，记为：~(0,1)X列表:XkP011pp概率统计它只发一弹，要么打中，要么打不中，分别记为1与0分布律为：XkP010.20.8(0--1)分布的应用很广，比如:检查产品的质量(正品与次品)有奖储蓄券是否中奖(中与不中)对婴儿性别进行登记(男与女)高射炮射击敌机是否击中等等.某次射击,已知某射手的命中率为0.8.求:射击一次命中目标次数X的分布律.例4.解:注:概率统计2.二项分布(1).伯努利试验n重伯努利试验：将E独立重复地进行n次试验,重复：是指在每次试验的概率保持不变；独立：是指在每次试验的结果互不影响；.伯努利试验:试验E只有两个可能结果：A及A。n重伯努利试验是一种很重要的数学模型，它在工业产品质量检验，群体遗传学方面都具有广泛的实际应用。概率统计设生男孩的概率为p，生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.求：X的概率分布.引例(2)分布律概率统计X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.男女X=0X=1X=2X=3X=4X的概率函数是：44{}(1),0,1,2,3,4kkkPXkCppkX可取值0,1,2,3,4.概率统计设一次试验中事件A发生的概率为,(01)pp则在n次伯努利试验中事件A恰发生k次概率为:{X}(1)(0,1,2)kknknPkCppkn按独立事件的概率计算公式可知，n次试验中事件A在某k次(例如前k次)发生而其余n-k次不发生的概率应为:(1)(1)(1)(1)knkknkpppppppp证明:概率统计而且它们是相互独立的，故在n次试验中A发生k次的概率(依概率的加法定理)为:{}0,PXk概率就等于二项式的展开式中的系数，这也是二项分布的名称的由来.()nPk[(1)]npxpkx由于现在只考虑事件A在n次试验中发生k次而不论在哪k次发生,所以它应有种不同的发生方式.knC注显然它满足：▲0()1nkknknnkCpqpq{X}(1)(0,1,2)kknknPkCppkn概率统计(3).二项分布的定义若用X表示n重伯努利概型中事件A发生的次数，它的分布律为：{}(1)0,1,2kknknPXkCppkn则称X服从参数为n,p(0p1)的二项分布，记为:(,)Xbnp～列表:X()Pk012n(0)(1)(2)()PPPPn概率统计对于固定n及p，当k增加时，概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少....n=10,p=0.7nPk0注特别当n=1时，二项分布即为(0-1)分布▲二项分布的图形特点：X~b(n,p)▲概率统计223{2}(0.05)(0.95)0.007125PXC已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个求:在所取的3个中恰有2个次品的概率.因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是伯努利试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X~b(3,0.05)例8解:概率统计若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，就不是伯努利里概型，此时，只能用古典概型求解.古典概型与n重伯努利概型有何区别？注n重伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，但要求：（1）每次试验条件相同，各次试验相互独立（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或A且(),()1PApPAp129553100(2)CCPXC概率统计设有80台同类型设备，各工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理。现考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台.试比较：这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小.（1）在第一种配备方法中则：在80台中发生故障而不能及时维修的概率为：例解：:iAi第人维护的20台中发生故障不能及时维修:1X第人维护的20台中同一时刻发生故障的台数概率统计12341()()(2)PAAAAPAPX~(20,0.01)而Xb{2}1{0}{1}0.0175231PXPXPX1234()0.0175PAAAA即（2）在第二种配备方法中(80,0.01)而～Yb则在80台中发生故障而不能及时维修的概率为:{4}1{3}0.0091PYPY:80Y台中同一时刻发生故障的台数概率统计结论：经比较，采用第二种配备方法虽然人员减少，每个人的任务加重(每人平均维护27台），但质量不仅没降低，反而提高了，故应采用第二种配备方法。3.泊松分布若随机变量X的所有可能取值为：而它的分布律(它所取值的各个概率)为：0,1,2,,2,1,0!)(kkekXPk.0是常数其中则称X服从参数为的泊松分布,记为()X～定理：概率统计1)(,0)(0kkXPkXP注泊松分布满足分布律的两个条件：▲▲泊松分布的图形特点：)(~PX概率统计泊松(Possion)定理设是一常数则对任一固定的非负整数k有：~(,),Xbnp0lim()!knePXkknp且证明:(X)(1)kknknPkCppknknnkknnn)1()(!)1()1(概率统计(1)121[1(1)(1)(1)]!(1)nkkknknnnnlim(X)!knePkk[(1)]121[1(1)(1)(1)]!(1)nkkknknnnne!kek泊松定理中的值有表可查注:一般的用去近似二项分布的当：!kek()nPk20,0.05np时近似效果颇佳100,10nnp时近似效果更好见本教材的P383的附表3概率统计在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布。例如：一本书一页中的印刷错误数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数。二项分布与泊松分布的关系▲由泊松分布的定义及泊松定理可知：当,p很小泊松分布是二项分布的近似。n（这是1837年由法国数学家泊松引入的）概率统计由泊松定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等比如：若把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件。概率统计2019/10/28北邮概率统计课件例5计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片,次品率达0.1%,各芯片成为次品相互独立.求在1000只产品中至少有2只次品的概率.记产以X品中的次品数,)001.0,1000(~bX解所求概率为}2{XP}1{}0{1XPXP)001.0()999.0(11000)999.0(199910003680635.03676954.012642411.0概率统计2019/10/28北邮概率统计课件利用(2.7)式来计算得,001.01000,1}2{XP}1{}0{1XPXP111ee2642411.0显然利用(2.7)式的计算来得方便.一般,,20n当的近似值作为时用knkkppknkep)1(!05.0颇佳.概率统计一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销问：商店在月底至少应进某种商品多少件？解:设该商品每月的销售数为X已知X服从参数λ=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件求满足P(X≤m)0.95的最小的m进货数销售数例12概率统计求满足P(X≤m)0.95的最小的m.查泊松分布表得：58050.9319,!kkekP(X≤m)0.95也即求：59050.9682!kkek5050.95!kmkek即即：m=9件概率统计2019/10/28北邮概率统计课件离散型随机变量的分布两点分布二项分布泊松分布二项分布泊松分布1010.p,n两点分布1n三、小结