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2.3等腰三角形的性质定理(一)1．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(C)A.36°B.60°C.72°D.108°(第1题)(第2题)2．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的度数为(A)A.100°B.80°C.70°D.50°3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC.若∠1＝70°，则∠BAC的大小为(A)A.40°B.30°C.70°D.50°(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE.上述结论一定正确的是(D)A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④(第5题)5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE.若∠A＝50°，则∠CDE的度数为(D)A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°(第6题)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．【解】∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠A＝36°.∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－36°＝54°.7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分别以AB，AC为边作两个等腰三角形ABD和ACE，且AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°.(第7题)(1)求∠DBC的度数．(2)求证：BD＝CE.【解】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝180°－40°2＝70°.∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠DBA＝180°－90°2＝45°，∴∠DBC＝70°＋45°＝115°.(2)∵AB＝AD，AC＝AE，AB＝AC，∴AB＝AC＝AD＝AE.又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝CE.(第8题)8．如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．【解】∵D是AB的中点，∴BD＝AD.由折叠的性质，得A′D＝AD，∴BD＝A′D.∴∠BA′D＝∠B＝50°.∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°.(第9题)9．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)A.44°B.66°C.88°D.92°【解】∵PA＝PB，∴∠A＝∠B.在△AMK和△BKN中，∵AM＝BK，∠A＝∠B，AK＝BN，∴△AMK≌△BKN(SAS)．∴∠AMK＝∠BKN.∵∠MKB＝∠MKN＋∠BKN＝∠A＋∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝44°，∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°.10．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，….若∠A＝70°，则∠Bn－1AnAn－1的度数为(C)(第10题)A.702n°B.702n＋1°C.702n－1°D.702n＋2°【解】在△ABA1中，∵∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝∠A＝70°.∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1＝∠BA1A2＝35°.同理，∠B2A3A2＝12∠B1A2A1＝∠BA1A22，∠B3A4A3＝12∠B2A3A2＝∠BA1A23，……∴∠Bn－1AnAn－1＝∠BA1A2n－1＝702n－1°.11．如图，在△ABC中，AD＝AC，BE＝BC.(1)若∠ACB＝96°，求∠DCE的度数．(2)问：∠DCE与∠A，∠B之间存在怎样的数量关系(直接写出答案)?(第11题)【解】(1)∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD.∴∠A＝180°－2∠ADC.∵BE＝BC，∴∠CEB＝∠ECB.∴∠B＝180°－2∠CEB.∵∠ACB＝96°，∴∠A＋∠B＝84°.∴(180°－2∠ADC)＋(180°－2∠CEB)＝84°.∴∠CEB＋∠ADC＝138°.∴∠DCE＝42°.(2)∠DCE＝12(∠A＋∠B)．(第12题)12．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．【解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.同理，∠ADE＝∠AED.设∠EDC＝α，∠C＝β，则∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝α＋β，∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝α＋β＋α＝2α＋β.∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝28°＋β，∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC＝14°.(第13题)13．如图，在△ABC中，已知BC＝AC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D.若∠ADC＝12∠CAD，求∠ABC的度数．(第13题解)【解】如解图，设∠ABC＝x，∠CAD＝y，则∠ACD＝2x，∠ADC＝12∠CAD＝12y，∴x＋2y＝180°，2x＋32y＝180°，解得x＝36°，y＝72°.∴∠ABC＝36°.14．(1)已知在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．(2)已知在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．(第14题)【解】(1)如解图①②(共有2种不同的分割法)．(第14题解)(第14题解③)(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如解图③，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－90°－12x，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如解图④，当DB＝DC时，∠DBC＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C.若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．,(第14题解④)),(第14题解⑤))第二种情况：如解图⑤，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．