立体几何专题讲义

1立体几何专题讲义一、考点分析基本图形1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。①底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱★②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体2.棱锥棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3．球球的性质：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；★②22rRd（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.球面积、体积公式：2344,3SRVR球球（其中R为球的半径）顶点侧面斜高高侧棱底面OCDABHSl侧棱侧面底面E'B'D'C'A'F'BDEAFCrdR球面轴球心半径AOO1BA'C'D'B'CDOABOC'A'Ac2平行垂直基础知识网络★★★异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★1．求异面直线所成的角0,90：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；2求直线与平面所成的角0,90：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。3求二面角的平面角0,解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）；三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。平行关系平面几何知识线线平行线面平行面面平行垂直关系平面几何知识线线垂直线面垂直面面垂直判定性质判定推论性质判定判定性质判定面面垂直定义1.,//abab2.,//aabb3.,//aa4.//,aa5.//,平行与垂直关系可互相转化3俯视图二、典型例题考点一：三视图1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________.第1题2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.第2题第3题3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为.4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是.第4题第5题5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a.22侧(左)视图222正(主)视图3正视图俯视图112左视图a46．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是.第6题第7题7.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3cm8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为_________m3。第7题第8题9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.图910.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该三棱柱的表面积为_____________.图1011.如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一2020正视图20侧视图101020俯视图223221俯视图正(主)视图侧(左)视图2322正视图俯视图5个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为_____________.图图11图12图1312.如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为_____________.13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其表面积是_____________.14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是_____________.图1415．一个棱锥的三视图如图图9-3-7，则该棱锥的全面积（单位：2cm）_____________.正视图左视图俯视图图1516．图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.图16图1717.如图17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长俯视图正(主)视图侧(左)视图23226俯视图侧视图正视图334为1，那么这个几何体的体积为______________.18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则这个棱柱的体积为______________.图18考点二体积、表面积、距离、角注：体积表面积异面直线所成角线面角1.将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了___________.2.在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为___________.3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为_______________.4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的21，则它的体积是原来的______________.5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是.6.平行六面体1AC的体积为30，则四面体11ABCD的体积等于.7．如图7，在正方体1111ABCDABCD中，,EF分别是11AD，11CD中点，求异面直线1AB与EF所成角的角______________.8.如图8所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为_____________.第8题第7题9.正方体''''ABCDABCD中,异面直线'CD和'BC所成的角的度数是_________________.710．如图9-1-3，在长方体1111ABCDABCD中，已知13,ABBCBCCC，则异面直线1AA与1BC所成的角是_________，异面直线AB与1CD所成的角的度数是______________图1311.如图9-1-4，在空间四边形ABCD中，ACBDACBD,,EF分别是AB、CD的中点，则EF与AC所成角的大小为_____________.12.正方体1AC中，1AB与平面11ABCD所成的角为.13．如图13在正三棱柱111ABCABC中，1ABAA，则直线1CB与平面11AABB所成角的正弦值为_______________.14.如图9-3-6，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为_______________.图9-3-6图9-3-1图715．如图9-3-1，已知ABC为等腰直角三角形,P为空间一点，且52,ACBCPCAC，PCBC，5PC，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为16．如图7，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为__________________.ACBPMA1CA1BA1AA1B1C1D1DA1OA1817.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是______________.18．长方体1111ABCDABCD的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，11AA，则顶点A、B间的球面距离是_________________.19.已知点,,,ABCD在同一个球面上，,ABBCD平面,BCCD若6,AB213,AC8AD，则,BC两点间的球面距离是.20.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是_________________.21．△ABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是30°和45°，若AB=3，BC=24，AC=5，则AC与a所成的角为_________.22．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为_____________.23．已知点,,,ABCD在同一个球面上，,ABBCD平面,BCCD若6,AB213,AC8AD，则,BC两点间的球面距离是.24．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________.25.已知,,,SABC是球O表面上的点，SAABC平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O表面积等于____________.26．已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为323，则正方体的棱长为_________.27.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________.考点四平行与垂直的证明1.正方体1111ABCD-ABCD，1AA=2，E为棱1CC的中点．(Ⅰ)求证：11BDAE；(Ⅱ)求证：//AC平面1BDE；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．A1D1C1B1AEDCB92.已知正方体1111ABCDABCD，O是底ABCD对角线的交点.求证：(１)C1O∥面11ABD；(2)1AC面11ABD．3．如图，PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB和PC的中点.（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求证：MNCD；（Ⅲ）若45PDA，求证：MN平面PCD.4.如图（1），ABCD为非直角梯形，点E，F分别为上下底AB，CD上的动点，且EFCD。现将梯形AEFD沿EF折起，得到图（2）（1）若折起后形成的空间图形满足DFBC，求证：ADCF；（2）若折起后形成的空间图形满足,,,ABCD四点共面，求证：//AB平面DEC；ABCDEF图（1）EBCFDA图（2）NMPDCBAD1ODBAC1B1A1C105．如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，N为AE的中点，AF=AB=BC=FE=12AD(I)证明平面AMD平面CDE；(II)证明//BN平面CDE；6．在四棱锥P－ABCD中,侧面PCD是正三角形,且与底面ABCD垂直,已知菱形ABCD中∠ADC＝60°,M是PA的中点，O是DC中点.（1）求证：OM//平面PCB；（2）求证:PA⊥CD；（3）求证:平面PAB⊥平面COM.7．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFDABCDPEFAFEBCDMNPDABCOM118.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是3，侧棱长是3，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．(1)求证：A1C⊥面AEF；(2)求二面角A-EF-B的大小；(3)点B1到面AEF的距离.考点五异面直线所成的角，线面角，二面角1.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方