一元二次方程根的分布

潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武1一元二次方程根的分布一．知识要点二次方程02cbxax的根从几何意义上来说就是抛物线cbxaxy2与x轴交点的横坐标，所以研究方程02cbxax的实根的情况，可从cbxaxy2的图象上进行研究．若在),(内研究方程02cbxax的实根情况，只需考察函数cbxaxy2与x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由cbxaxy2的系数可判断出2121,,xxxx的符号，从而判断出实根的情况．若在区间),(nm内研究二次方程02cbxax，则需由二次函数图象与区间关系来确定．表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0120,0xx两个正根即两根都大于0120,0xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120xx大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f综合结论（不讨论a）00200baaf00200baaf00fa潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武2表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论（不讨论a）020bkaafk020bkaafk0kfakkk潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武3表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在nm,内，另一根在qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq综合结论（不讨论a）0nfmf00qfpfnfmf潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武4根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧12,xmxn，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a时，00fmfn；（2）0a时，00fmfn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况：1若0fm或0fn，则此时0fmfn不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间nm,内，从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根，因为10f，所以22212mxmxxmx，另一根为2m，由213m得223m即为所求；2方程有且只有一根，且这个根在区间nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260xmxm有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由300ff即141530mm得出15314m；②由0即2164260mm得出1m或32m，当1m时，根23,0x，即1m满足题意；当32m时，根33,0x，故32m不满足题意；综上分析，得出15314m或1m潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武5二．例题选讲（1）两个根在实数k的同一侧例1．已知方程)(0)32()1(242Rmmxmx有两个负根，求m的取值范围．变式1：已知方程2210xmxm有两个不等正实根，求实数m的取值范围。变式2：已知二次方程02)12(2mxmmx的两个根都小于1，求m的取值范围．（2）两个根在实数k的异侧例2：已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根，求实数m的取值范围。变式1：已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。变式2：求实数m的范围，使关于x的方程062)1(22mxmx．（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．（２）有两个实根,，且满足410．（３）至少有一个正根．潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武6变式3：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.（3）在区间),(nm有且只有一个实根例3．已知二次方程22340mxmx只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.（4）在区间),(nm有两个实根例4：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.变式1：已知方程2x2–2(2a-1)x+a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围．变式2：已知方程x2+(3m-1)x+(3m-2)=0的两个根都属于(-3,3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围．潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武7（5）在区间],[nm有实根例5．已知a是实数，函数2()223fxaxxa，如果函数()yfx在区间11，上有零点，求a的取值范围．（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用．例6.1．求函数y=x+1x2-3x+2(1x2)的值域．例6.2．已知抛物线y=2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0),(1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．例6.3．设关于x的方程bbxx(0241R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。变式：已知方程02)12(22mmmxx在)1,(上有两个根，求m的取值范围．潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武8三．巩固练习1．已知二次方程04)32()13(2mxmxm有且只有一个实根属于(-1,1)，求m的取值范围．2．已知二次方程0)1(2)12(2mmxxm有且只有一个实根属于（1，2），且2,1xx都不是方程的根，求m的取值范围．3．已知二次方程0)1()43()1(2mxmxm的两个根都属于（–1，1），求m的取值范围．4．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围．潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武9答案：二．例题选讲（1）两个根在实数k的同一侧例1．已知方程)(0)32()1(242Rmmxmx有两个负根，求m的取值范围．解：依题意有0320)1(0)32(44)1(42mmmm11m．变式1：已知方程2210xmxm有两个不等正实根，求实数m的取值范围。解：由0102200mf218010mmmm3223220mmm或0322m或322m即为所求的范围。变式2：已知二次方程02)12(2mxmmx的两个根都小于1，求m的取值范围．解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为)3(1212)2(0]2)12([)1(0)2(4)12(2mmmmmmmmm（1）即为011282mm，它的解集是),473[]473,(．（2）即为0)12(mm，它的解集是),0()21,(．（3）的解集是),41()0,(．所以，m的取值范围是),473[)21,(．解二：二次方程02)12(2mxmmx有两个根的充要条件是0．设两根为21,xx，由于21,xx都小于1，即01,0121xx，其充要条件为：0)1)(1(0)1()1(2121xxxx潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武10即01)(02212121xxxxxx因此，方程两个根都小于1的充要条件是：0112202120)2(4)12(2mmmmmmmmm以下同解法一（略）．解三：令1xy，原方程转化为02)1)(12()1(2mymym，即012)14(2mymmy（*）因为原方程两根都小于1，所以方程（*）的两个实根都小于0，其充要条件是：0120140mmmm同样可求出m的取值范围（略）．（2）两个根在实数k的异侧例2：已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根，求实数m的取值范围。解：由2100mf即2110mm，从而得112m即为所求的范围。变式1：已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。解：由210mf即2210mm122m即为所求的范围。变式2：求实数m的范围，使关于x的方程062)1(22mxmx．（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．（２）有两个实根,，且满足410．（３）至少有一个正根．解：设62)1(2)(2mxmxxfy．（１）依题意有0)2(f，即062)1(44mm，得1m．潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武11（２）依题意有01410)4(054)1(062)0(mfmfmf解得：4557m．（３）方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得02)1(20)0(0mf，即1351mmmm或13m．②有一个正根，一个负根，此时可得0)0(f，得3m．③有一个正根，另一根为０，此时可得0)1(2026mm3m．综上所述，得1m．变式3：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.解：∵f(0)=10(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.(2）当m0时，则030mm解得0＜m≤1综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.（3）在区间),(nm有且只有一个