圆锥曲线的综合问题-分题型整理

1圆锥曲线的综合问题★知识梳理★1.直线与圆锥曲线C的位置关系将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程20axbxc（1）交点个数①当a=0或a≠0，⊿=0时,曲线和直线只有一个交点;②当a≠0,⊿0时,曲线和直线有两个交点;③当⊿0时,曲线和直线没有交点;(2)弦长公式：2.对称问题：曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿0）③曲线上两点的中点在对称直线上3.求动点轨迹方程①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法★重难点突破★重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能①求弦长时用韦达定理设而不求②弦中点问题用“点差法”设而不求2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用问题1：已知点1F为椭圆22195xy的左焦点，点1,1A，动点P在椭圆上，则1PAPF的最小值为点拨：设2F为椭圆的右焦点，利用定义将1PF转化为2PF，在结合图形，用平面几何的知识解决。126PAPFPAPF，当2,,PAF共线时最小，最小值为62★热点考点题型探析★考点1直线与圆锥曲线的位置关系题型1：交点个数问题[例1]设抛物线28yx的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l4)(1||1||212212122xxxxkxxkAB2的斜率的取值范围是（）A．11.22B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法[解析]易知抛物线28yx的准线2x与x轴的交点为Q(-2,0)，于是，可设过点Q(-2,0)的直线l的方程为(2)ykx，联立222228,(48)40.(2),yxkxkxkykx其判别式为2242(48)1664640kkk，可解得11k，应选C.【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论【新题导练】1已知圆22104xymx与抛物线214yx的准线相切，则m的值等于（）A．2B．3C．2D．32.已知将圆228xy上的每一点的纵坐标压缩到原来的12,对应的横坐标不变,得到曲线C；设2,1M，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),直线l与曲线C交于A、B两个不同点.(1)求曲线C的方程；(2)求m的取值范围.3.求过点0,1的直线，使它与抛物线22yx仅有一个交点.3题型2：与弦中点有关的问题[例2]已知点A、B的坐标分别是1,0，1,0.直线,AMBM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;(Ⅱ)若过点1,12N的直线l交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的中点，求直线l的方程.【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解[解析](Ⅰ)设(,)Mxy，因为2AMBMkk,所以2111yyxxx化简得:22221xyx(Ⅱ)设1122(,),(,)CxyDxy当直线l⊥x轴时,直线l的方程为12x,则1616(,),(,)2222CD,其中点不是N,不合题意设直线l的方程为11()2ykx将1122(,),(,)CxyDxy代入22221xyx得221122xy…………(1)222222xy…………(2)(1)-(2)整理得:12121212122()12()212yyxxkxxyy直线l的方程为111()22yx即所求直线l的方程为230xy解法二:当直线l⊥x轴时,直线l的方程为12x,则1616(,),(,)2222CD,其中点不是N,不合题意.故设直线l的方程为11()2ykx,将其代入22221xyx化简得222(2)2(1)(1)2022kkkxkx由韦达定理得222212221224(1)4(2)[(1)2]0(1)222(1)2(2)2(1)22(3)2kkkkkkxxkkxxk,4又由已知N为线段CD的中点,得122(1)222kkxxk12,解得12k,将1k代入(1)式中可知满足条件.此时直线l的方程为111()22yx,即所求直线l的方程为230xy【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁【新题导练】1.椭圆221164xy的弦被点2,1P所平分，求此弦所在直线的方程2.已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，求此椭圆的离心率题型3：与弦长有关的问题[例3]已知直线2yxk被抛物线24xy截得的弦长AB为20，O为坐标原点．（1）求实数k的值；（2）问点C位于抛物线弧AOB上何处时，△ABC面积最大？【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△ABC面积的最大值取得的条件[解析]（1）将kxy2代入yx42得0482kxx，由△01664k可知4k，5xyOAB另一方面，弦长AB2016645k，解得1k；（2）当1k时，直线为12xy，要使得内接△ABC面积最大，则只须使得2241CCxy，即4Cx，即C位于（4，4）点处．【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围【新题导练】1.已知椭圆22122:1(0)xyCabab与直线10xy相交于两点AB、．（1）当椭圆的半焦距1c，且222,,abc成等差数列时，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度||AB；2.已知点3,0A和3,0B，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线2yx交于D、E两点，求线段DE的长．考点2：对称问题题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）[例4]若直线l过圆22420xyxy的圆心M交椭圆49:22yxC=1于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线L的方程．[解析])1,2(M，设),(),,(2211yxByxA，则2,42121yyxx6又1492121yx，1492222yx，两式相减得：04922122212yyxx，化简得0))((9))((421212121yyyyxxxx，把2,42121yyxx代入得982112xxyykAB故所求的直线方程为)2(211xy，即042yx所以直线l的方程为：8x-9y+25=0.【名师指引】要抓住对称包含的三个条件：(1)中点在对称轴上(2)两个对称点的连线与轴垂直(3)两点连线与曲线有两个交点(0),通过该不等式求范围【新题导练】1.已知抛物线22ypx上有一内接正△AOB，O为坐标原点.求证：点A、B关于x轴对称；2在抛物线24yx上恒有两点关于直线3ykx对称，求k的取值范围.2.若抛物线21yax，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称，求实数a的范围.考点3圆锥曲线中的范围、最值问题题型：求某些变量的范围或最值7[例5]已知椭圆22122:1(0)xyCabab与直线10xy相交于两点AB、．当椭圆的离心率e满足3232e，且0OAOB（O为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系[解析]由22222210bxayabxy，得222222()2(1)0abxaxab由22222(1)0abab，得221ab此时222121222222(1),aabxxxxabab由0OAOB，得12120xxyy，∴12122()10xxxx即222220abab，故22221aba由222222cabeaa，得2222baae∴221211ae由3232e得25342a，∴526a所以椭圆长轴长的取值范围为[5,6]【名师指引】求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．【新题导练】1.已知P是椭圆C：12422yx的动点，点)0,21(A关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为23，求点P的横坐标的取值范围。82.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线xy2上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．3直线m：y=kx+1和双曲线221xy的左支交于A，B两点，直线l过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围．4已知椭圆221259xy，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PAPB的最小值；（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值．5.定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。9点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。考点4定点，定值的问题题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量[例6]已知P、Q是椭圆C：12422yx上的两个动点，)26,1(M是椭圆上一定点，F是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系证明：设124),,(),,(222211yxyxQyxP由椭圆的标准方程为知.22222)2()2(||121212121xxxyxPF同理.222||,222||2MFxOF.2),(224)222(2|,|||||22121xxxxQFPFMF①当0)(2)(,42,42,222122212222212121yyxxyxyxxx得由时，从而有.2121212121yyxxxxyy设线段PQ的中点为nxxyyknNPQ21),,1(2121由，得线段PQ的中垂线方程为)