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数学拓展课————数格点，算面积一．概念认识ABCDE1、如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点（如图中的点A、B、C等）。显然，每一个小方格就是一个面积单位。如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)2、凸多边形与凹多边形：如右图a,把多边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形。而图b中的多边形不具备这种性质,称为凹多边形.一．概念认识ab例1、判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶⑷√例2、你会求图中格点多边形的面积吗？ABCDE分割法：把不规则的大图形分割转化为若干规则的小图形；添补法：把不规则图形周围添补上规则的小图形转化一个规则的大图形，使总面积便于计算。（1）求下列多边形的面积（2）不妨设S---格点多边形的面积，N--多边形内部的格点数，L--它的边上的格点数，那么S、N、L三者之间有没有关系呢？图形序号SNL①②③01212.54456S、N、L三者之间有怎样的关系呢？二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、L)的关系活动一探究N=0的格点多边形中S与L之间的关系①DCBA②CBA③DCBA图形序号SNL①②③S、N、L三者之间有怎样的关系呢？308104206二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、L)的关系活动二探究N=1的格点多边形中S与L之间的关系①DCBA②DCBA③CBA图形序号SNL①②③S、N、L三者之间有怎样的关系呢？2142.5154.519图形序号SNL①②③二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、L)的关系活动三探究N=2的格点多边形中S与L之间的关系①DCBAFE②DCBA③DCBAS、N、L三者之间有怎样的关系呢？6212426321二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、L)的关系活动四探究N=3的格点多边形中S与L之间的关系①DCBAD②DCBAD③CBA图形序号SNL①②③5364344.535S、N、L三者之间有怎样的关系呢？二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、L)的关系活动五猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S与L之间的关系活动六归纳总结：格点多边形中S与L之间的关系12LSN通过上面的探究，我们发现，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的格点的数目及图形内部的格点的数目，就可用公式算出。12LSN这个公式是皮克(奥地利数学家乔治·尼古拉斯·亚历山大·皮克GeorgeAlexanderPick（1859～1943))在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积S和内部格点数目N、多边形边界上的格点数目L的关系：⑶⑵⑴例3、（1）计算图中格点多边形的面积⑹⑸⑷例3、（2）计算图中格点多边形的面积例3、（3）计算图中格点多边形的面积⑵⑴⑷⑶已知下面的方格纸中，每个小正方形的边长为1．你能求出三个图形象分别占了多少面积吗？五、小结：共同交流课内活动体会•1、认识格点多边形•2、识别凹凸多边形•3、归纳格点多边形面积的求法（割补法、皮克定理——数格点算面积）•4、会数格点多边形的内部及边上的格点数。下图中每个数学味正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？举一反三：1、(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．ABCDEFQPPQFEDCBA2、三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有22SNL即：格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．ABCDFECBA(b)(a)举一反三：1、求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．巩固：⑴⑵⑶⑷2、把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢﹖往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。——希尔伯特再见！